江苏省南京市实验中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A B(1,+) C D参考答案：D2. 将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A，B，C，D，E中，恰有两个小球放入同一个盒子的概率为（）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】先求得基本事件的总数为，然后计算出恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数，根据古典概型概率计算公式计算出所求的概率.【详解】解：将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A，B，C，D，E中，基本事件总数，恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数，恰有两个小球放入同一个盒子的概率故选：B【点睛】本小题主要考查分步计算原理，考查古典概型概率计算，属于基础题.3. 设和为双曲线()的两个焦点, 若点和点是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )。 A B C D3参考答案：C略4. 若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A1，+）B1，）C（，1D（，1参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；数形结合【分析】将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的范围【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（2，4）斜率为k的直线结合图形可得，解得要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选B【点评】解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的范围问题5. 如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=ex1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）ABCD参考答案：D【考点】CF：几何概型【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论【解答】解：由题意，阴影部分的面积为=e2，矩形区域OABC的面积为e1，该点落在阴影部分的概率是故选D6. 下列命题中正确的是 ( ) A当 B当，C当，的最小值为 D当无最大值参考答案：B7. 已知向量,且，则的值为 ( ) A B C D 参考答案：C8. 已知等比数列满足，且，则当时，( ) A. B. C. D. 参考答案：C略9. 在中，若，则是（ ）A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形参考答案：B10. 函数f（x）=x33x2+3x的极值点的个数是（）A0B1C2D3参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值【分析】找出其导函数看其函数值与0的关系，即可得结论【解答】解：由题知f（x）的导函数f（x）=3x26x+3=3（x1）2的值恒大于或等于零，所以函数f（x）单调递增，故选 A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过抛物线y2=4x焦点作斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|= 参考答案：6【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+=x1+x2+p得答案【解答】解：抛物线焦点为（1，0），则直线方程为y=2x+2，代入抛物线方程得x23x+1=0，x1+x2=3，根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=3+2=5故答案为：5【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是灵活利用了抛物线的定义12. 将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种 参考答案：42013. 在各项均不为零的等差数列中，若，则（ ） 参考答案：A略14. 经过两点与的椭圆的标准方程为_. 参考答案：略15. 函数的定义域为_.参考答案：且【分析】解不等式即得函数的定义域.【详解】由题得，解之得且x3.故答案为：且【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意可得P1P2BAD1B，设出P1B=x，则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，P1P2BAD1B，设P1B=x，x（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V=1x（1x）=（xx2），当x=时，体积取得最大值：故答案是：17. 若，则目标函数z=x+2y的最小值为参考答案：2略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (12分)抛物线在第一象限内与直线相切。此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。求使S达到最大值的a，b值，并求。参考答案：解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为，所以（1）又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点由方程组得，其判别式必须为0，即于是，代入（1）式得：令；在时得唯一零点，且当时，；当时，。故在时，取得极大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且略19. (本题满分10分)若函数在区间（0,1）、（1,2）内各有一个零点， 求的取值范围.参考答案：.解：由已知得：，其表示的平面区域为4分 表示与区域中的点连线的斜率. 5分 , .9分 故的取值范围是 .10分略20. （本题12分）设计算法求的值。要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序。参考答案：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。程序框图如图所示：-6分程序如下：DOLOOP UNTIL PRINT END-12分21. （本小题满分13分）抛物线，其准线方程为，过准线与轴的交点做直线交抛物线于两点.（）若点为中点，求直线的方程；（）设抛物线的焦点为，当时，求的面积.参考答案：（）抛物线的准线方程为 -1分抛物线的方程为 -2分显然，直线与坐标轴不平行设直线的方程为， -3分联立直线与抛物线的方程，得-4分，解得或 -5分点为中点,，即解得 -6分，或 -7分直线方程为或. -8分（）焦点， -11分 -13分22. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值参考答案：（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD（2）解析：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA=30于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=AE与CD所成角的余弦值为评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段