2022年江西省吉安市遂川新江中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列在曲线上的点是. . . .参考答案：B2. 已知双曲线x2=1（b0）的离心率，则b等于( )A2B3C4D5参考答案：B考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线x2=1（b0）的离心率，可得a=1，c=，求出b，即可求出b的值解答：解：双曲线x2=1（b0）的离心率为，a=1，c=，b=3，故选：B点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题3. 若ABC的个顶点坐标A（4，0）、B（4，0），ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）AB（y0）C（y0）D（y0）参考答案：D【考点】与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的标准方程【分析】由ABC的个顶点坐标A（4，0）、B（4，0），ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值108，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求【解答】解：A（4，0）、B（4，0），|AB|=8，又ABC的周长为18，|BC|+|AC|=10顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，则a=5，c=4，b2=a2c2=2516=9，顶点C的轨迹方程为故选：D4. 已知角的终边经过点（4，3），则cos=（）ABCD参考答案：D【考点】任意角的三角函数的定义【专题】三角函数的求值【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值【解答】解：角的终边经过点（4，3），x=4，y=3，r=5cos=，故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题5. 已知是双曲线的左右焦点,P是双曲线右支上一点,M是的中点 , 若|OM|=1,则|是（ ）A10 B 8 C 6 D4参考答案：A略6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】由题意可求出的值，再由三角函数同角基本关系式解出，即可。【详解】，且，或.不妨设， ，.由解得.故选A.【点睛】本题主要考查两角和正切公式，以及同角三角函数关系式的应用。7. 若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D. 参考答案：C略8. 下列选项中，说法正确的是（ ）A“”的否定是“”B若向量满足，则与的夹角为钝角C若，则D命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件参考答案：D9. 命题：函数的图像必过定点；命题：如果函数的图像关于点对称，那么函数的图像关于原点对称，则 （ ）A. 为真； B. 为假；C. 真假； D. 假真。参考答案：A略10. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，则此椭圆的离心率是（）ABCD参考答案：B【考点】椭圆的简单性质【分析】由PF1x轴，先求出点P的坐标，再由PF2AB，能得到b=2c，由此能求出椭圆的离心率【解答】解：如图，PF1x轴，点P的坐标（c，），kAB=， =，PF2AB，kAB=，即=，整理，得b=2c，a2=b2+c2=5c2，即a=c，e=故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒豆子落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 。参考答案：0.1812. 命题P：关于x的不等式(a2)x22(a2)x40对xR恒成立;命题Q：f(x)=(13aa2)x是减函数.若命题PVQ为真命题,则实数a的取值范围是_.参考答案：略13. 双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为 若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF2=90o，则F1PF2的面积是 参考答案：略14. 方程恒有实数解，则实数的取值范围是_ _参考答案：【知识点】二次函数的图象与性质【答案解析】解析：解：由得，因为，所以若方程有实数解，则m的范围是【思路点拨】一般遇到方程有实数解问题，可通过分离参数法转化为求函数的值域问题进行解答.15. 已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等”，则= .参考答案：316. 在ABC中，若sin Asin Bsin C234，则最大角的余弦值_ 参考答案：略17. 求和： _.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q（）若直线l的倾斜角为45，求|PQ|；（）设直线l的斜率为k（k0），点P关于原点的对称点为P，点Q关于x轴的对称点为Q，PQ所在直线的斜率为k若|k|=2，求k的值参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（）直线l的倾斜角为45，直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|；（）设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k丨=丨丨=丨丨=2，即可求得k的值【解答】解：（）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F1（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），又直线l的倾斜角为45，直线l的方程为y=x+1，（1分）由，整理得：7x2+8x8=0，（3分）则x1+x2=，x1?x2=（4分）丨PQ丨=?=?=，|PQ|=；（）由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，（6分）则x1+x2=，x1?x2=，（8分）依题意P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），丨k丨=丨丨=丨丨，（10分）其中丨x1x2丨=，（11分）丨k丨=丨丨=2（12分）解得：7k2=9，k=，k的值（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题19. 已知ABC三个顶点的坐标分别是.若ABC在矩阵对应的变换T作用下变为A1B1C1,其中点变为点.求A1B1C1的面积.参考答案：1【分析】先由题意求出，得到矩阵，从而求出在变换作用下的坐标，进而可得出三角形的面积.【详解】由题意知,即,解得所以， 因此在变换作用下变为，,所以，故的面积为1.【点睛】本题主要考查矩阵变换以及三角形的面积，熟记矩阵变换的运算法则即可，属于常考题型.20. 设 （I）若的极小值为1，求实数a的值；（II）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.参考答案：（I）；（II）【分析】（I）求出的定义域以及导数，讨论的范围，求出单调区间，再结合的极小值为1，即可求得实数a的值；（II）求出的定义域以及导数，利用导数研究最小值的范围，即可求出。【详解】（I）时，故在上单增，故无极小值。时，故在上单减，在上单增，故.故（II）当时， 由于在上单增，且故唯一存在使得，即故在上单减，在上单增，故又 且在上单增，故，即依题意：有解，故，又，故【点睛】本题考查已知极值求参数，利用导数研究函数单调区间以及最值，综合性强，属于中档题。21. 已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，（1）求a，b；（2）解不等式ax2（ac+b）x+bc0参考答案：【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；分类讨论【分析】（1）一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根，再利用一元二次方程根与系数的关系解出a，b（2）先把一元二次不等式变形到（x2）（xc）0，分当c2时、当c2时、当c=2时，三种情况求出此不等式的解集【解答】解：（1）因为不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，所以x1=1与x2=b是方程ax23x+2=0的两个实数根，且b1由根与系的关系得，解得，所以得（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax2（ac+b）x+bc0，即x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|2xc；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式（x2）（xc）0的解集为?综上所述：当c2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为?【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题22. 过抛物线y2=2Px（P0）的对称轴上一点A（a，0）（a0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=a作垂线，垂足分别为M1，N1（1）当a=时，求证：AM1AN1；（2）记AMM1，AM1N1，ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在，使得对任意的a0，均有S22=S1?S3成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质【分析】（1）当a=时，如图所示，设M，N则，由题意可设直线MN的方程为my+=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系只要证明=0即可（2）假设存在，使得对任意的a0，均有 S22=S1?S3成立设M，N则M1（a，y1），N1（a，y2），不妨设y10设直线MN：my+a=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系，用坐标分别表示S1，S2，S3利用 S22=S1?S3成立即可得