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湖南省常德市市第五中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 现有四个函数:的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是 A B C D参考答案:C为偶函数,为奇函数,为奇函数,且当时,为非奇非偶函数。所以对应的顺序为,选C.2. 点M的直角坐标为化为极坐标为( )A B C D参考答案:D3. 下列五个命题中正确命题的个数是( )(1)对于命题,则,均有;(2)是直线与直线互相垂直的充要条件;(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为1.23x0.08(4)若实数,则满足的概率为.(5) 曲线与所围成图形的面积是 A.2 B.3 C.4 D.5参考答案:A略4. 已知定义域为R的函数,那么等于 ( ) A1 B62 C64 D83参考答案:D5. 已知实数x,y分别满足:(x3)3+2016(x3)=a,(2y3)3+2016(2y3)=a,则x2+4y2+4x的最小值是( )A0B26C28D30参考答案:C【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】构造函数f(x)=x3+2016x,判断函数的奇偶性和单调性,利用函数奇偶性的性质建立方程关系,可得x+2y6=0,把2y=6x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解:设f(x)=x3+2016x,则f(x)=f(x),即函数f(x)是奇函数,且函数为增函数,(x3)3+2014(x3)=a,(2y3)3+2014(2y3)=a,(x3)3+2014(x3)=(2y3)3+2014(2y3),即f(x3)=f(2y3),即f(x3)=f(32y),f(x)=x3+2016x为增函数,x3=32y,即x+2y6=0,把2y=6x代入z=x2+4y2+4x得到z=x2+(6x)2+4x=2x28x+36=2(x2)2+2828,当且仅当x=2,y=2时取得最小值故选:C【点评】本题考查了函数奇偶性和二次函数的单调性的应用,根据条件构造函数f(x)=x3+2016x,判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键6. 已知是虚数单位,则等于( )A B C D参考答案:A略7. ,则( ) A. RQP B. PRQ C. QRP D. RPQ参考答案:A略8. “=”是的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件参考答案:A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可【解答】解:若“=”,则,是充分条件,反之,不成立,故选:A9. 设,则a,b,c的大小关系为( )A B C. D参考答案:A由题意,所以,所以,故选A.10. 若则p是q成立的A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件参考答案:A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知则的值为 参考答案:略12. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,且弦的长为,则_参考答案:-513. (原创) ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,则角B的最大值为 参考答案:a,b,c成等比数列,b2ac.由余弦定理得当且仅当ac时等号成立,cos B的最小值为角B的最大值为【考点】解三角形,已知三角函数值求角,基本不等式,.14. 在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A、B、C所对的边,且,且ABC的面积为,的值为_参考答案:5【分析】由正弦定理边化角可得,由面积公式和余弦定理列方程可得.【详解】由,结合正弦定理可得.在锐角三角形ABC中,可得.所以ABC的面积,解得.由余弦定理可得,解得.故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用,重点考查了计算能力,属于基础题.15. 若点M是以椭圆+=1的短轴为直径的圆在第一象限内的一点,过点M作该圆的切线交椭圆E于P,Q两点,椭圆E的右焦点为F2,则PF2Q的周长是 参考答案:6【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m(k0,m0),联立椭圆方程,设P(x1,y1),Q(x2,y2),运用韦达定理和弦长公式,结合直线和圆相切的条件:d=r,化简整理,可得周长;方法二、设P(x1,y1),Q(x2,y2),运用椭圆的焦半径公式和勾股定理,化简整理即可得到所求周长【解答】解:根据题意作出图形如图所示,方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m(k0,m0),由得(8+9k2)x2+18kmx+9m272=0,有=(18km)24(8+9k2)(9m272)=288(9k2m2+8)0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,=直线PQ与圆x2+y2=8相切,即,=,0x13,同理,|PF2|+|QF2|+|PQ|=6=,因此,PF2Q的周长是定值6方法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=1,|PF2|=,0x13,又M是圆O的切点,连接OP,OM,=,同理|QF2|+|QM|=3,|PF2|+|QF2|+|PQ|=3+3=6,因此,PF2Q的周长是定值6故答案为:6【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查直线和圆相切的条件:d=r,考查运算能力,属于中档题16. 在等比数列an中,已知a4a10=10,且,则= 参考答案:1617. 由直线,曲线及轴所围图形的面积为 。参考答案:2ln2三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 设等比数列an的前n项和为;数列bn满足(,)(1)求数列an的通项公式;(2)试确定t的值,使得数列bn为等差数列;在结论下,若对每个正整数k,在与之间插入个2,符到一个数列cn设是数列cn的前n项和,试求满足的所有正整数参考答案:(1);(2)见解析分析:(1)求出数列的首项和公比,即可求数列的通项公式;(2)求出数列的前几项,根据等差数列的性质建立方程即可求出;讨论的取值,根据的关系进行求解即可详解:(1)当时,则公比,则 (2)当时,得 时,得;时,得,则由,得 而当时,由得 由,知此时数列为等差数列 由题意知,则当时,不合题意,舍去;当时,所以成立; 当时,若,则,不合题意,舍去;从而必是数列中的某一项,则:又,所以 ,即,所以因为奇数,而为偶数,所以上式无解即当时, 综上所述,满足题意的正整数仅有点睛:本题主要考查等比数列和等差数列综合应用,考查学生的运算和推理能力,综合性较强,有一定的难度19. 已知为锐角,且,函数,数列 的首项,.(1)求函数的表达式;(2)求数列的前项和.参考答案:(1)由, 是锐角,4分 . 6分(2), (常数) 8分是首项为,公差的等差数列, , 10分. 12分略20. 有数字1,2,3,4,5,6, 从中任取三个数字 ()求取到的三个数字的积是3的倍数的不同取法;()记剩下的三个数中奇数的个数为,求的分布列与期望 参考答案:(I)6个数任取3个取法有种, .3分其中既没有取3且没有取6的取法有种 .6分取到的三个数字的积是3的倍数的不同取法有种.7分(II) 由题意,的取值范围为0,1,2,3 .8分;. .12分(注:每算对一个给1分)0123P.14分21. 某市为响应国家节能减排建设的号召,唤起人们从自己身边的小事做起,开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动,其中有两则公益广告:(一)80部手机,一年就会增加一吨二氧化氮的排放。(二)人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时,却不得不呼吸汽车排放的尾气。活动组织者为了了解是市民对这两则广告的宣传效果,随机对10-60岁的人群抽查了n人,并就两个问题对选取的市民进行提问,其抽样人数频率分布直方图如图所示,宣传效果调查结果如表所示:(1)分别写出n,a,b,c,d的值。(2)若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率,规定正确回答广告一的内容得30元,广告二的内容得60元。组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁,孩子17岁),指定大人回答广告一的内容,孩子回答广告二的内容,求该家庭获得奖金数的分布列及期望。 参考答案:略22. 在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系)中,曲线C的极坐标方程为2=(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与直线l交于A、B两点,若点P的坐标为(2,1),求|PA|+|PB|参考答案:【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【分析】(1)把代入极坐
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