福建省泉州市延平中学高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数，若的概率为（ ）A B C D 参考答案：D2. 将两个数a=2, b= -6交换，使a= -6, b=2，下列语句正确的是（ ） A B C D 参考答案：B3. 命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数参考答案：C略4. 下列命题为真命题的是（A） （B）（C） （D）参考答案：A5. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y2.5t44.5A产品的生产能耗与产量呈正相关Bt的取值必定是3.15C回归直线一定过点（4，5，3，5）DA产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨参考答案：B【考点】BK：线性回归方程【分析】先求出这组数据的，把代入线性回归方程，求出，即可得到结果【解答】解：由题意， =4.5，=0.7x+0.35，=0.74.5+0.35=3.5，t=43.52.544.5=3，故选：B6. 用反证法证明命题：“若a,bN，ab能被3整除，那么a,b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）Aa、b都能被3整除 Ba、b都不能被3整除Ca、b不都能被3整除 Da不能被3整除参考答案：B略7. 如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】由题意可知，另外两个三角形上的数字之和为6，列出所有的基本事件，并确定基本事件的数目，并确定事件“两个三角形上的数字之和为6”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为.从1、2、3、4、5中任取两个数字的所有情况有、，共10种，而其中数字之和为6的情况有、，共2种，因此，该图形为“和谐图形”的概率为，故选：B.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出基本事件，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐进线的距离等于（ ）A B C3 D5参考答案：A9. 设f（x）是可导函数，且=（）AB1C0D2参考答案：B【考点】极限及其运算【专题】计算题【分析】由题意可得=2=2f（x0），结合已知可求【解答】解：=2=2f（x0）=2f（x0）=1故选B【点评】本题主要考查了函数的导数的求解，解题的关键是导数定义的灵活应用10. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点则的方程为( )ABCD参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集是，则的值是 。参考答案：-1412. 已知函数时，则下列结论正确的是 。 ； ； ； 参考答案：13. 若成等比数列，其公比为2，则= 。参考答案：略14. 已知样本的平均数是，标准差是，则的值为 参考答案：60略15. 已知是两条异面直线，那么与的位置关系_. 参考答案：16. 由13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2， 13+23+33+43=（1+2+3+4）2， 试猜想13+23+33+n3= ()参考答案：略17. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 种。参考答案：512三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列的前项和（1）计算，；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论参考答案：（1）由已知得 当时，有； 当时，有； 同理可得 4分 （说明：，一个1分）（2）猜想：5分 证明：当时，由（1）得，等式成立 6分假设当时，成立7分则 当时，有 9分 10分 即 当时，等式也成立 11分综合可知 对一切都成立 12分19. 已知四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD平面ABCD，M在边PC上（）当M在边PC上什么位置时，AP平面MBD？并给出证明（）在（）条件之下，若ADPB，求证：BD平面PAD参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）M是PC中点时，AC与BD的交点O是AC的中点，从而OMPA，由此能证明AP平面MBD（）推导出PDAD，ADBD，PDBD，由此能证明BD平面PAD【解答】解：（）M是PC中点时，AP平面MBD证明：底面ABCD是平行四边形，AC与BD的交点O是AC的中点，又M是PC的中点，OMPA，OM?平面MBD，AP?平面MBD，AP平面MBD证明：（）PD平面ABCD，AD?平面ABCD，PDAD，又ADPB，PDPB=P，AD平面PBD，ADBD，PD平面ABCD，BD?平面ABCD，PDBD，PDAD=D，BD平面PAD20. 已知椭圆（ab0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线ykx2（k0）与椭圆交于C、D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由参考答案：21. 已知直线l：kxy3k=0与圆M：x2+y28x2y+9=0（1）直线过定点A，求A点坐标；（2）求证：直线l与圆M必相交；（3）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值参考答案：【考点】直线与圆相交的性质【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（1）直线l可化为：y=k（x3），过定点A（3，0）；（2）由已知中直线l：kxy3k=0，我们可得直线必过点P（3，0），代入圆方程可得点P在圆内，由此即可得到答案（3）根据当圆M截直线l所得弦长最小时，l与MP垂直，我们根据M、P点的坐标，求出MP的斜率，进而即可求出满足条件的k的值【解答】（1）解：直线l可化为：y=2（x3），所以直线l恒过点A（3，0）；（2）证明：直线l恒过点P（3，0），代入圆的方程可得x2+y28x2y+99，P（3，0）点在圆内；则直线l与圆M必相交；（3）解：圆M截直线l所得弦长最小时，则MP与直线l垂直，M点坐标为（4，1），P（3，0），KMP=1，k=1【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中恒过圆内一点时，直线与圆相交，圆M截直线l所得弦长最小时，MP与l垂直都是直线与圆问题中经常考查的知识点22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为（0）（1）求动点E的轨迹方程，若动点E的轨迹和点A、B合并构成曲线C，讨论曲线C的形状；（2）当=时，记曲线C的右焦点为F2，过点F2的直线l1，l2分别交曲线C于点P，Q和点M，N（点P、M、Q、N按逆时针顺序排列），且l1l2，求四边形PMQN面积的最值参考答案：【考点】轨迹方程 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设动点E的坐标为（x，y），由点点，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为（0），知?=（0），由此能求出动点E的轨迹C的方程（2）分斜率存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，即可求得结论【解答】解：（1）设动点E的坐标为（x，y），点，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为（0），?=（0），整理，得x2=2，x，动点E的轨迹C的方程为=1=1，曲线C表示圆；1，焦点在y轴上的椭圆；10，焦点在x轴上的椭圆；0，焦点在x轴上的双曲线；（2）当=时，记曲线C：+y2=1的右焦点为F2（1，0）（）若l1与l2中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则S=2（）若l1与l2得斜率均存在，设l1：y=k（x1）与椭圆方程联立，消去y可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=|PQ|=|x1x2|=同理可得|MN|=S=|PQ|MN|=由2，得由（）（）知，Smin=，Smax=2（12分【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确表示四边形PMQN的面积是关键