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2022年广西壮族自治区北海市国发中学高一数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知全集=0,1,2,3,4,=0,1,2,=2,3,则=( )A. B. C. D. 参考答案:A2. 设在的内部,且,则的面积与的面积之比为( ) A3 B4 C5 D6参考答案:B略3. 400辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在50,70)的汽车大约有()A.120辆 B.160辆 C.140辆 D.280辆参考答案:D略4. 函数y=的定义域为()A(0,1B(,1)C(,1D(1,+)参考答案:B【考点】函数的定义域及其求法【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求得x的范围得答案【解答】解:要使原函数有意义,则1x0,即x1函数y=的定义域为(,1)故选:B【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题5. 已知函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6)C(10,12)D(20,24)参考答案:C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象;对数的运算性质;对数函数的图象与性质【分析】画出函数的图象,根据f(a)=f(b)=f(c),不妨abc,求出abc的范围即可【解答】解:作出函数f(x)的图象如图,不妨设abc,则ab=1,则abc=c(10,12)故选C6. 角的终边过点(3a9,a+2),且cos0,sin0,则a的范围是()A(2,3)B2,3)C(2,3D2,3参考答案:A【考点】三角函数值的符号【分析】由cos0且sin0,判断出此点是第二象限中的点,实数a的取值范围易得【解答】解:由题意的终边上有一点P(3a9,a+2),满足cos0且sin0,故此点是第二象限中的点,3a90,且a+20,2a3,故选:A【点评】本题考查三角函数的符号,求解的关键是根据三角函数值的符号确定出点P的坐标的象限,从而得到关于实数a的不等式,求出实数n的取值范围7. 设f(x)=,则ff(3)=( )A1B2C4D8参考答案:B【考点】函数的值 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用【分析】利用函数的解析式,求解函数值即可【解答】解:f(x)=,ff(3)=f4=log24=2故选:B【点评】本题考查函数值的求法,考查计算能力8. 已知函数(,)是偶函数,且,则( )A在上单调递减 B在上单调递增 C. 在上单调递增 D在上单调递减参考答案:D9. 已知,函数与函数的图象可能是()参考答案:B10. 已知直线上两点的坐标分别为,且直线与直线垂直,则的值为( ). . . .参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列an是以a为首项,q为公比的等比数列,数列bn满足,数列cn满足,若cn为等比数列,则_参考答案:3【分析】先由题意求出数列的通项公式,代入求出数列的通项公式,根据等比数列通项公式的性质,即可求出,得出结果.【详解】因为数列是以为首项,为公比的等比数列,所以;则,则,要使为等比数列,则,解得,所以.故答案为3【点睛】本题主要考查数列的应用,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型.12. 已知函数f(x)=,则不等式的解集是参考答案:x0x【考点】其他不等式的解法【分析】由h(x)=x2+4x在0,+)单调递增,h(x)min=h(0)=0,g(x)=x2+4x在(,0)上单调递增,g(x)max=g(0)=0可知函数f(x)在R上单调递增,则由可得2x,解不等式可求【解答】解:f(x)=,h(x)=x2+4x在0,+)单调递增,h(x)min=h(0)=0g(x)=x2+4x在(,0)上单调递增,g(x)max=g(0)=0由分段函数的性质可知,函数f(x)在R上单调递增,2x,0x,故答案为x|0x13.已知则=_ .参考答案:略14. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1,若f(1)=1且f(x)2恒成立,则实数a的取值范围是参考答案:(4,0【考点】二次函数的性质【分析】f(x)2可化为ax2+ax10讨论a是否为0,不为0时,根据开口方向和判别式建立不等式组,解之即可求出所求【解答】解:f(1)=1,ab+1=1,b=a,f(x)2可化为ax2+ax10当a=0时,10恒成立,故满足条件;当a0时,对于任意实数x,不等式ax2ax10恒成立则,解得4a0综上所述,4a0故答案为:(4,015. 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,记的长度构成数列an,则此数列的通项公式为an=_参考答案:【分析】由图可知,由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形,因为都是直角三角形,,是以1为首项,以1为公差的等差数列,故答案为.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用,等差数列的定义与通项公式,以及数形结合思想的应用,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于与中档题.15. 已知则为 .参考答案:略17. 若函数f(x)=,则f(log23)=参考答案:9【考点】函数的值【分析】由log23log22=1,得到f(log23)=,由此利用对数性质及运算法则能求出结果【解答】解:函数f(x)=,log23log22=1,f(log23)=9故答案为:9三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,将得到的点数分别记为.(1)求直线与圆相切的概率;(2)将的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.参考答案:(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为66=36 因为直线axby5=0与圆x2y2=1相切,所以有即:a2b2=25,由于a,b1,2,3,4,5,6.所以,满足条件的情况只有a=3,b=4;或a=4,b=3两种情况 所以,直线axbyc=0与圆x2y2=1相切的概率是 (2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为66=36因为,三角形的一边长为5所以,当a=1时,b=5,(1,5,5) 1种 当a=2时,b=5,(2,5,5) 1种 当a=3时,b=3,5,(3,3,5),(3,5,5) 2种 当a=4时,b=4,5,(4,4,5),(4,5,5) 2种 当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5) 6种 当a=6时,b=5,6,(6,5,5),(6,6,5) 2种 故满足条件的不同情况共有14种.所以,三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为略19. (本小题满分10分)计算求值:(1)已知,求的值(2)计算:参考答案:(1) (5分)(2)52(5分)。20. 已知圆和直线 证明:不论取何值,直线和圆总相交; 当取何值时,圆被直线截得的弦长最短?并求最短的弦的长度参考答案:方法一:圆的方程可化为:,圆心为,半径.直线的方程可化为:,直线过定点,斜率为.定点到圆心的距离,定点在圆内部,不论取何值,直线和圆总相交.方法二:圆的方程可化为:,圆心为,半径.圆心到直线的距离,因,故,不论取何值,直线和圆总相交. 圆心到直线的距离被直线截得的弦长,当时,弦长;当时,弦长,下面考虑先求函数的值域.由函数知识可以证明:函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增(证明略),故当时,函数在处取得最大值2;当时,函数在处取得最小值2.即或,故或,可得或,即且,且,且.综上,当时,弦长取得最小值;当时,弦长取得最大值4. 21. 计算(本小题满分8分)已知为第三象限角,()化简()若,求的值参考答案:(1)4分(2) 从而又为第三象限角即的值为8分22. (本题满分12分)已知圆关于直线对称,圆心在第二象限,半径为.(1)求圆的方程;(2)是否存在直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.参考答案:
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