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上海海事大学附属高级中学2022-2023学年高一数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数的单调递增区间是()A(,0) B (1,+) C. (2,+) D(,1) 参考答案:A函数 的定义域为 ,设,根据复合函数的性质可得函数的单调增区间即 的单调减区间, 的单调减区间为 ,函数 的单调递增区间是 ,故选A.2. (5分)若函数f(x)=kaxax,(a0,a1)在(,+)上既是奇函数,又是增函数,则g(x)=loga(x+k)的是()ABCD参考答案:C考点:奇偶性与单调性的综合;对数函数的图像与性质 专题:数形结合分析:由函数f(x)=kaxax,(a0,a1)在(,+)上既是奇函数,又是增函数,则由复合函数的性质,我们可得k=1,a1,由此不难判断函数的图象解答:解:函数f(x)=kaxax,(a0,a1)在(,+)上是奇函数则f(x)+f(x)=0即(k1)(axax)=0则k=1又函数f(x)=kaxax,(a0,a1)在(,+)上是增函数则a1则g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)函数图象必过原点,且为增函数故选C点评:若函数在其定义域为为奇函数,则f(x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函数,则f(x)f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公共单调区间上:增函数减函数=增函数也是解决本题的关键3. 设四边形ABCD为平行四边形,.若点M,N满足,则( )A. 20B. 15C. 9D. 6参考答案:C试题分析:不妨设该平行四边形为矩形,以为坐标原点建立平面直角坐标系,则,故.考点:向量运算.4. 函数的零点所在的大致区间是( ) AB C D 参考答案:B略5. 设奇函数f(x)在(,0)上为增函数,且,则不等式的解集为A(2,0)(2,+) B(,2)(0,2) C(,2)(2,+) D(2,0)(0,2) 参考答案:D6. 若,则等于( )A B C D参考答案:B 解析:7. 定义函数(定义域),若存在常数C,对于任意,存在唯一的,使得,则称函数在D上的“均值”为C已知,则函数在上的均值为( )A B C D10参考答案:C8. 过点P的直线L与以、为端点的线段有公共点,则直线L的斜率k的取值范围是( )A B CD 参考答案:B9. 已知变量满足约束条件则的取值范围是 ( )A B C D参考答案:A10. 已知锐角三角形的边长分别为1、3、,则的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列an为等差数列,若,则k=_.参考答案:3【分析】设等差数列的公差为,根据已知条件列方程组解出和的值,可求出的表达式,再由可解出的值.【详解】设等差数列的公差为,由,得,解得,因此,故答案为:.【点睛】本题考查等差数列的求和,对于等差数列的问题,通常建立关于首项和公差的方程组求解,考查方程思想,属于中等题.12. 若,则的最小值为 参考答案:略13. 给出函数,若对一切成立,则_。参考答案:解:此即函数在处取到最小值,令,。14. 设集合AxQ |x1,则_ A.(用适当的符号填空)参考答案:略15. 定义运算,若,则_参考答案:【分析】根据题干定义得到,利用同角三角函数关系得到:,代入式子:得到结果.【详解】根据题干得到 , ,代入上式得到结果为:故答案为:.16. (4分)下面有五个命题:函数y=sin4x+cos4x的最小正周期是;终边在y轴上的角的集合是|=,kZ;把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移得到y=3sin2x的图象;函数y=sin(x)在上是单调递减的;直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanx(0)相交的相邻两点间的距离是其中真命题的序号是 参考答案:考点:命题的真假判断与应用 专题:三角函数的图像与性质分析:,利用三角函数间的关系式与二倍角的余弦,化简可得函数y=cos2x,可知其最小正周期是,可判断;,写出终边在y轴上的角的集合,可判断;,利用三角恒等变换把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移,求得其解析式,可判断;,利用诱导公式化简得y=cosx,再利用复合函数的单调性质,可判断;,利用正切函数的周期性质,可知直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanx(0)相交的相邻两点间的距离是,可判断解答:解:对于,因为y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)=cos2x,其最小正周期是,所以正确;对于,终边在y轴上的角的集合是|=k+,kZ,故错误;对于,把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移得到y=3sin=3sin2x的图象,故正确;对于,函数y=sin(x)=cosx在上是单调递增的,故错误;对于,直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanx(0)相交的相邻两点间的距离是,故错误综上所述,以上5个选项中,只有正确,故答案为:点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查三角函数的恒等变换与图象变换,考查正弦函数、正切函数的周期性、余弦函数的单调性的应用,熟练掌握三角函数的图象与性质是关键,属于中档题17. 若关于x的不等式有解,则实数a的取值范围为_.参考答案:【分析】利用判别式可求实数的取值范围.【详解】不等式有解等价于有解,所以,故或,填.【点睛】本题考查一元二次不等式有解问题,属于基础题.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (11分)设函数(1)若在上的最大值为0,求实数的值;(2)若在区间上单调,且,求实数的取值范围。参考答案: (2) 若在上递增,则满足:(1);(2),即方程在,上有两个不相等的实根 方程可化为,设, 则,解得: 若在上递减,则满足:(1);(2) 由得,两式相减得 ,即 即 ,即 同理: 19. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=x2+2x(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的增区间;(2)写出函数f(x)的解析式和值域参考答案:【考点】二次函数的图象;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间【分析】(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,由此补出完整函数f(x)的图象即可,再由图象直接可写出f(x)的增区间(2)可由图象利用待定系数法求出x0时的解析式,也可利用偶函数求解析式,值域可从图形直接观察得到【解答】解:(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如有图:所以f(x)的递增区间是(1,0),(1,+)(2)设x0,则x0,所以f(x)=x22x,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(x),所以x0时,f(x)=x22x,故f(x)的解析式为值域为y|y120. .已知圆P过点.(1)点,直线l经过点A且平行于直线BC,求直线l的方程;(2)若圆心P的纵坐标为2,求圆P的方程.参考答案:(1);(2).【分析】(1)求出直线的斜率,由直线与直线平行,可知这两条直线的斜率相等,再利用点斜式可得出直线的方程;(2)由题意得出点在线段的中垂线上,可求出点的坐标,再利用两点间的距离公式求出圆的半径,于此可写出圆的标准方程。【详解】(1)直线过点,斜率为,所以直线的方程为,即;(2)由圆的对称性可知,必在线段的中垂线上,圆心的横坐标为:,即圆心为:,圆的半径:,圆的标准方程为:.【点睛】本题考查直线的方程,考查圆的方程的求解,在求解直线与圆的方程中,充分分析直线与圆的几何要素,能起到简化计算的作用,考查计算能力,属于中等题。21. 已知函数, (1)判断函数的奇偶性,并证明;(2)判断函数在上是增函数还是减函数?并证明.参考答案:略22. 某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加2元,客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?参考答案:设客房日租金每间提高2元,则每天客房出租数为30010,由0,且300100得:030设客房租金总上收入元,则有:=(20+2)(30010) =20(10)2 8000(030)由二次函数性质可知当=10时,=8000所以当每间客房日租金提高到20102=40元时,客户租金总收入最高,为每天8000元.略
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