广东省佛山市西樵高级中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是（ ） A归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.非以上答案参考答案：C略2. 直线（为参数）被曲线截得的弦长为（）A B C D参考答案：D3. 设ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=4，B=60，则b等于（）A28B2C12D2参考答案：D【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理列出关系式，把a，c以及cosB的值代入计算即可求出b的值【解答】解：ABC中，a=2，c=4，B=60，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=4+168=12，则b=2【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题关键4. 已知圆柱的上、下底面中心为O1、O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A. 10 B. 8 C. 12 D. 12参考答案：C5. 等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,，则的实轴长为（）ABCD参考答案：C6. 已知中，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、 参考答案：D7. 如图，在正方体中，直线AE和平面DCC1D1位置关系（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断参考答案：A8. 如图,直线L1、L2、L3的斜率的大小关系为( ) A. k1k2k3 B.k1k3k2 C. k1k2k3 D.k1k3k2参考答案：B9. 一个棱长为1的正方体的8个顶点都在一个球面上，那么这个球面的表面积是（ ）A B C. D 参考答案：C略10. 当x2，1，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B（，C（，2D4，3参考答案：C【考点】函数恒成立问题【分析】根据x的范围，不等式可整理为a，构造函数f（x）=，通过导函数得出函数的单调性，求出函数的最小值即可【解答】解：x2，1，ax3x2+4x+30，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，f（x）=，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）f（1）=2，a2故选C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.参考答案：a0.略12. 过球面上两已知点可以作的大圆个数是_个。参考答案：错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。正确答案是不能确定。13. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为 。 参考答案：略14. 已知正实数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2+的最小值为参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意，4a2+b2+=1+4ab，令ab=t，则4a2+b2+=1+4t，确定t的范围及y=4t单调递减，即可得出结论【解答】解：4a2+b2+=1+4ab，令ab=t，则4a2+b2+=1+4t正实数a，b满足2a+b=1，1，0ab，0t，由y=4t可得y=40，0t时，y=4t单调递减，y，4a2+b2+故答案为：15. 不等式的解集是 学参考答案：略16. 曲线在点（1，3）处的切线方程是_参考答案：y=x-217. 若直线:与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围为 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an的前n项和为Sn，（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足an?bn=log3a4n+1，记Tn=b1+b2+b3+bn，求证：（nN+）参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用递推关系：当n=1时，a1=S1，当n2时，an=SnSn1，及其等比数列的通项公式即可得出；（2）求出bn=（4n+1）（）n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（1）解：由（nN+）当n=1时，a1=S1，2S1+3=3a1，得a1=3n=2时，2S2+3=3a2，即有2（a1+a2）+3=3a2，解得a2=9当n2时，an=SnSn1，2Sn+3=3an（nN*），2Sn1+3=3an1，两式相减可得2an=3an3an1，an=3an1，数列an是以9为首项，3为公比的等比数列an=3n对n=1也成立故数列an的通项公式为an=3n（2）证明：由an?bn=log3a4n+1=log334n+1=4n+1，得bn=（4n+1）（）n，Tn=Tn=b1+b2+b3+bn=5?+9?（）2+（4n+1）?（）n，Tn=5?（）2+9?（）3+（4n+1）?（）n+1，两式相减得， Tn=+4（4n+1）?（）n+1=+4（4n+1）?（）n+1，化简可得Tn=（4n+7）?（）n【点评】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n项和重点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度19. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由已知得t=x3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，t=x3，y=，整理得直线l的普通方程为=0，圆C的直角坐标方程为：（2）圆C：的圆心坐标C（0，）点P在直线l： =0上，设P（3+t，），则|PC|=，t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）20. 已知函数f（x）=（lnxk1）x（kR）（1）当x1时，求f（x）的单调区间和极值（2）若对于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，求k的取值范围（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2e2k参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）由题意x0， =lnxk，由此根据k0，k0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值（2）问题转化为k+1对于xe，e2恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围（3）设x1x2，则0x1ekx2ek+1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证，由此利用导数性质能证明x1x2e2k【解答】解：（1）f（x）=（lnxk1）x（kR），x0， =lnxk，当k0时，x1，f（x）=lnxk0，函数f（x）的单调增区间是（1，+），无单调减区间，无极值；当k0时，令lnxk=0，解得x=ek，当1xek时，f（x）0；当xek，f（x）0，函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+），在区间（1，+）上的极小值为f（ek）=（kk1）ek=ek，无极大值（2）对于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，f（x）4lnx0，即问题转化为（x4）lnx（k+1）x0对于xe，e2恒成立，即k+1对于xe，e2恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，则，t（x）在区间e，e2上单调递增，故t（x）min=t（e）=e4+4=e0，故g（x）0，g（x）在区间e，e2上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2，要使k+1对于xe，e2恒成立，只要k+1g（x）max，k+12，即实数k的取值范围是（1，+）证明：（3）f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+）上单调递增，且f（ek+1）=0，不妨设x1x2，则0x1ekx2ek+1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证，f（x）在区间（ek，+）上单调递增，f（x2）f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1），构造函数h（x）=f（x）f（）=（lnxk1）x（lnk1），即h（x）=xlnx（k+1）x+e2k（），x（0，ek）h（x）=lnx+1（k+1）+e2k（+）=（lnxk），x（0，ek），lnxk0，x2e2k，即h（x）0，函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h（x）h（ek），故h（x）0，f（x1）f（），即f（x2）=f（x1）f（），x1x2e2k成立【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用21. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.参考答案：解：（1）由，得，故椭圆方程为，又椭圆过点,则，解之得，因此椭圆方程为(2)设直线的斜率为，由题，直线MA与MB的斜率互为相反数，直线MB的斜率