贵州省贵阳市修文县景阳中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为 A. B. C. D. 参考答案：C略2. 已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，下列结论正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）在区间（，）上单调递增C函数f（x）的图象关于直线x=对称D函数f（x）的图象关于（，0）对称参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换；GI：三角函数的化简求值【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：对于函数f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，故该函数的周期为=，故排除A在区间（，）上，2x+（，），故函数f（x）在区间（，）上没有单调性，故排除Bf（0）=f（）=2，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，故C正确由于当x=时，f（x）=1，故排除D，故选：C【点评】题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题3. 参考答案：D4. 若，则（ ）A. B. C.D. 参考答案：【知识点】对数的运算性质B7C 解析：因为，所以，则，故选C.【思路点拨】先将指数式转化为对数式，再根据对数的运算性质得到结果。5. 下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是 ( ） A B C D参考答案：B6. 设a1=2，数列1+an是以3为公比的等比数列，则a4=（）A80B81C54D53参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式【分析】先利用数列1+an是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列1+an的通项，再把n=4代入即可求出结论【解答】解：因为数列1+an是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3其通项为：1+an=（1+a1）3n1=3n当n=4时，1+a4=34=81a4=80故选A7. 设向量，定义一种向量积：已知向量，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是A B C D参考答案：D8. 执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）A.5 B.9 C.17 D.33 参考答案：D9. 设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则+的取值范围是（）A（3，+）B（，3）C参考答案：D【考点】5B：分段函数的应用【分析】作出函数f（x）的图象，由图象可得x1+x2=4，x3x4=1；1x44；从而化简+，再利用函数的单调性求出它的取值范围【解答】解：作出函数f（x）的图象，由图可知，x1+x2=4，x3x4=1；当|log2x|=2时，x=4或x=，则1x44故+=+=+x4，其在1x44上是增函数，故4+1+x41+4；即3+x43；即+的取值范围是（3，3，故选：D10. 已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：1+i=，z=i在复平面内，复数z所对应的点在第一象限故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。参考答案：如图，过球心O向AC作垂线OE由球的对称性知一定垂直平分AC，由长方形AB=6,BC=,得AC=2AE=，即AE=，由勾股定理可得OE=，所以.12. （不等式选做题）已知函数f (x)|x2|x5|，则不等式f (x)x28x15的解集为_ 参考答案：略13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 。参考答案：略14. 圆心为（a，2），过抛物线y2=4x的焦点，且与其准线相切的圆的方程是_参考答案：15. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆上的动点到直线的距离的最大值是 。参考答案： 略16. 若实数满足条件：，则的最大值为 参考答案：答案：5 17. 一个与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为，则该球的表面积是_.参考答案：答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组0，30），30，60），60，90），90，120），120，150），150，180），180，210），210，240，得到频率分布直方图如图所示已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人；（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列22列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？（3）若在第组、第组、第组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；参考公式：K2=参考答案：考点：频率分布直方图；独立性检验的应用 专题：应用题；概率与统计分析：（1）根据频率直方图，利用频率=，求出样本容量n，以及第组的频率和，补全频率分布直方图即可；（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以及利用时间不充分的人数，利用22列联表，计算K2的值，即可得出正确的判断；（3）求出X的所有可能取值以及对应的概率，求出X的分布列与数学期望值解答：解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，8），由图可知：P1=30=，P2=30=；学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=；由题意：n=5，n=100；又P3=30=，P5=30=，P6=30=，P7=30=，P8=30=；P4=1（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=；第组的高度为：h=；补全频率分布直方图如图所示：（注：未标明高度1/250扣1分）（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而22列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生301545住宿生451055总计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得； K2=3.030；因为3.0303.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）由（1）知：第组1人，第组4人，第组5，总计10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3；P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=；X的分布列为：X0123PEX=0+1+2+3=；（或由超几何分布的期望计算公式EX=n=3=）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了22列联表的应用问题，考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目19. 如图，三棱锥中，ABC是正三角形，DA=DC （）证明：ACBD；（）已知，求点C到平面ABD的距离。参考答案：（）证：取中点，连为正，中，平面（）正中，中中，由（）证：平面,又为中点设到平面的距离为，20. 已知命题p：函数是R上的增函数；命题在a，)上单调递增。若“”为真命题，“”也是真命题，求a的取值范围。参考答案：21. 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求.参考答案：对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点, 则, 因为,所以, 2分所以解得4分所以,6分所以7分22. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.参考答案：（1）设污水处理池的宽为米，则长为米则总造价（元）当且仅当，即时取等号当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元 (2）由限制条件知 设在上是增函数，当时（此时），有最小值，即有最小值 当长为16米，宽为米时，总造价最低