辽宁省沈阳市第六十一中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，则“”是“”的（A）充要条件 （B）必要不充分条件（C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：B2. 在三棱锥A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值为，当三棱锥A-BCD的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8参考答案：B【分析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角的平面角为；根据题意可知当，时，三棱锥的体积最大。根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积。【详解】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为则二面角的平面角为点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形设，则，解得，所以，设则解得球的半径所求外接球的表面积为故选B.【点睛】本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题。3. 已知数列的通项公式为，那么满足的整数有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）不存在参考答案：B4. 设数列是等差数列，为其前项和.若，则（ ）A B. C. D.参考答案：C依题意，得：，解得：，所以，747设函数,则 ( )A7 B.9 C.11 D.13【答案】A【解析】3，因为，所以4所以，347。5. 函数y=的图象大致为（）参考答案：C【考点】函数的图象【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】原函数化简为y=1+，即可得到对称中心为（e，1），于是可以判断C正确【解答】解：y=1+，函数y=的对称中心为（e，1），故选：C【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键是求出对称中心，属于基础题6. 若为两个单位向量，且?（+）=，记的夹角为，则函数y=sin（?x+）的最小正周期为（ ）A8B6C4D2参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法F3 C4【答案解析】B 解析：，为两个单位向量，且?（+）=，=1+cos，cos=函数y=sin（?x+）=的最小正周期T=6故选：B【思路点拨】利用数量积运算性质、三角函数的周期性即可得出7. 不等式的解集为，且，则实数的取值范围是( )A B C D 参考答案：A略8. 设复数z满足z（1+i）=|i|（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数的代数运算法则，求出z的值，再判断复数z在复平面内对应点的位置【解答】解：复数z满足z（1+i）=|i|（i是虚数单位），则z=1i复数z在复平面内对应的点Z（1，1）位于第四象限故选：D9. 已知函数的图象如下面右图所示，则函数的图象是 ( ）参考答案：A10. 对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”现给出两个函数：，；，；，；，则在区间上的存在唯一“友好点”的是（ ）A B C D参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3过C作圆的切线l，则点A直线l的距离AD=_参考答案：略12. 已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(ln x)ln2x的零点个数为_参考答案：2略13. 设则f（f（-2）=_参考答案：-2本题考查了指数、对数以及分段函数的计算问题，难度一般， 因为，所以14. 若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为参考答案：540【考点】DB：二项式系数的性质【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为 =540，故答案为：54015. 已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第80个数对是_ 参考答案：(2,12)16. 将6位志愿者分成4组，其中有2个组各2人，另两个组各1人，分配到2012年伦敦奥运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种.（用数字作答）参考答案：108017. 在中，AC=2，BC=6，已知点O是内一点，且满足，则= 。参考答案：40三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图,已知点，点P在圆C：上，点M在AP上，点N在CP上，且满足AM=MP，NMAP，设点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过原点且斜率为k（k 0)的直线交曲线E于G、F两点，其中G在第一象限，它在y轴上的射影为点Q，直线FQ交曲线E于另一点H，证明：GHGF.参考答案：（）NM为AP的垂直平分线，|NA|=|NP|，又|CN|+|NP|=，|CN|+|NA|=2.动点N的轨迹是以点，为焦点的椭圆，3分且长轴长，焦距，曲线E的方程为.5分（）设G(x1，kx1)，H(x2，y2)，则F(x1，kx1)，Q(0，kx1)，直线FQ的方程为y2kxkx1，将其代入椭圆E的方程并整理可得(24k2)x24k2x1xk2x1220.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由韦达定理可得x1x2，即.因为点H在直线FQ上，所以y2kx12kx2.9分于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1)(，)而等价于.12分略19. 已知函数，aR（I）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）0在x1，+）上恒成立，求正数a的取值范围；（）证明：参考答案：（I）单调递增区间为，单调递减区间为；（II）；（III）详见解析.【分析】（）求出导函数，解不等式和可得单调递增、递减区间；（）采用参数讨论的方法求出函数在区间上的最小值，通过逐步排除可得正数的取值范围；（）根据（）中的结论，当时有，然后令，代入整理得，相加后可得所证不等式【详解】（）当时，所以，则当时，则单调递增；当时，则单调递减；所以单调递增区间为，单调递减区间为（）因为，则，.当 ，时，有，故当，则，在上是减函数，所以当时，与在恒成立矛盾。 当时，此时在上成立， 所以在上是增函数，所以，即在上恒成立综上所述，所求的取值范围为（）由（）知当时，在上恒成立，即，当时，则有，所以当时，令，则有，即，将上述个不等式依次相加得：，整理得.【点睛】（1）解决不等式恒成立问题时，常用的方法是分离参数，即通过分离参数转化为求函数的最值的问题处理；若参数不易分离时，则可采用参数讨论的方法，通过逐步排除参数的取值从而达到求解的目的（2）对于函数中证明数列不等式的问题，一般要借助前几问中的结论构造合适的不等式，然后通过对变量进行适当的赋值，转化为关于正整数的问题，再结合不等式的有关知识求解20. （本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC.参考答案：证明：（1）在平面内，因为ABAD，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以EF平面ABC.（2）因为平面ABD平面BCD，平面平面BCD=BD， 平面BCD，所以平面.因为平面，所以.又ABAD，平面ABC，平面ABC，所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC.21. 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c，BAC=，a=4.（1）求bc的最大值及的取值范围；（2）求函数的最值。参考答案：（1）由题意知，即， 又，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为16。 又，所以，又，所以。（2）因为，所以， 当即时， 当即时，22. （本题满分12分）. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短参考答案：解（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP所以， 所求函数关系式为3分若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为6分（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，9分当时，是的减函数；当时，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。12分