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湖南省郴州市三湖中学2022-2023学年高一数学文测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 式子的值为( ) A. B. C. D. 参考答案:A2. 已知,则等于( ) (A) (B) (C) (D)参考答案:C略3. 已知函数对任意实数都有f (1 x ) = f (1 + x) 成立,若当x1,1时,f (x) 0恒成立,则的取值范围是( )A B C D不能确定参考答案:A4. 若,则下列不等式关系中不一定成立的是( )(A)(B)(C)(D)参考答案:D5. 已知等差数列中,则的值是( )A.15 B.30 C.31 D. 64参考答案:A6. 若直线是异面直线,与也是异面直线,则与的位置关系是 A.平行或异面 B.相交,平行或异面 C.异面或相交 D.异面参考答案:B略7. 设,则ff(1)=()A1B2C4D8参考答案:B【考点】函数的值【分析】根据题意,可先求f(1)=1,然后即可求解ff(1)【解答】解:由题意可得,f(1)=(1)2=1ff(1)=f(1)=21=2故选B8. 已知集合,,则=( )A B C. D.参考答案:A9. 某商店卖出两套不同品牌的西服,售价均为元以成本计算,一套盈利,另一套亏损,此时商店( )A不亏不盈 B盈利元C亏损元 D盈利元参考答案:C设盈利的进价是元,则,;设亏损的进价是元,则有,则进价和是元,售价和是元,元,即亏损元,故选10. 如图,定义在2,2的偶函数f(x)的图象如图所示,则方程f(f(x)=0的实根个数为()A3B4C5D7参考答案:C【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求出函数的值域,判断函数的零点的范围,然后求解方程f(f(x)=0的实根个数【解答】解:定义在2,2的偶函数f(x)的图象如图:函数是偶函数,函数的值域为:f(x)2,1,函数的零点为:x1,0,x2,x1(2,1),x2(1,2),令t=f(x),则f(f(x)=0,即f(t)=0可得,t=x1,0,x2,f(x)=x1(2,1)时,存在ff(x1)=0,此时方程的根有2个x2(1,2)时,不存在ff(x2)=0,方根程没有根ff(0)=f(0)=f(x1)=f(x2)=0,有3个所以方程f(f(x)=0的实根个数为:5个故选:C【点评】本题考查函数的零点以及方程根的关系,零点个数的判断,考查数形结合以及计算能力二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=2sinxcosx的最大值为参考答案:【考点】HW:三角函数的最值【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理,利用正弦函数的性质求得其最大值【解答】解:y=2sinxcosx=sin(x+)故答案为:12. 已知数列的通项公式为,且是递减数列,则的取值范围为_.参考答案:13. 已知直线l:kxy+12k=0(kR)过定点P,则点P的坐标为参考答案:(2,1)【考点】恒过定点的直线【分析】kxy2k1=0,化为y+1=k(x2),即可得出直线经过的定点【解答】解:kxy2k1=0,化为y+1=k(x2),kR,解得点P的坐标为(2,1)故答案为(2,1)14. 已知两个正数x,y满足xy=4,则使不等式m恒成立的实数m的取值范围是 参考答案:15. 函数f(x)x5的零点个数为_参考答案:略16. 从某班56人中随机抽取1人,则班长被抽到的概率是参考答案:【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计【分析】利用随机抽样的性质求解【解答】解:从某班56人中随机抽取1人,每人被抽到的概率都是,班长被抽到的概率p=故答案为:【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意随机抽样性质的合理运用17. (3分)直线xy+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 参考答案:考点:直线与圆的位置关系 专题:直线与圆分析:由圆的方程找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长解答:由圆x2+y2=4,得到圆心(0,0),r=2,圆心(0,0)到直线xy+2=0的距离d=1,直线被圆截得的弦长为2=2故答案为:2点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,圆的标准方程,垂径定理,以及勾股定理,熟练运用垂径定理及勾股定理是解本题的关键三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 某企业生产一种产品,根据经验,其次品率Q与日产量x(万件)之间满足关系, (其中a为常数,且,已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元(注:次品率=次品数/生产量, 如表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品).(1)试将生产这种产品每天的盈利额(万元)表示为日产量x(万件)的函数;(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?参考答案:(1);(2)见解析.【分析】(1)运用每天的赢利为P(x)日产量(x)正品率(1Q)2日产量(x)次品率(Q)1,整理即可得到P(x)与x的函数式;(2)当ax11时,求得P(x)的最大值;当1xa时,设12xt,利用基本不等式可得x9时,等号成立,故可分类讨论得:当1a3时,当x11时,取得最大利润; 3a9时,运用复合函数的单调性可得当xa时取得最大利润;当9a11时,当日产量为9万件时,取得最大利润【详解】(1)当时,.当时,.综上,日盈利额(万元)与日产量x(万件)的函数关系式为,(其中a为常数,且).(2)当时,其最大值为55万元.当时,设,则,此时,显然,当且仅当,即时,有最大值,为13.5万元.令,得,解得(舍去)或,则(i)当时,日产量为11万件时,可获得最大利润5.5万元.(ii)当时,时,函数可看成是由函数与复合而成的.因为,所以,故在上为减函数又在上为减函数,所以在上为增函数故当日产量为a万件时,可获得最大利润万元.(iii)当时,日产量为9万件时,可获得最大利润13.5万元.【点睛】本题考查利润函数模型的应用,并且利用基本不等式求得函数的最值问题,也考查分类讨论思想方法,是难题19. 已知集合,全集()求()已知集合,若,求实数的取值范围参考答案:见解析解:()集合,()当时,当时,则,综上所述,实数的取值范围是20. 某培训班共有n名学生,现将一次某学科考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示其中落在80,90)内的频数为36(1)请根据图中所给数据,求出a及n的值;(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本,求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩?(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生的成绩,求所取两名学生的平均分不低于70分的概率参考答案:【考点】CB:古典概型及其概率计算公式;B8:频率分布直方图【分析】(1)由频率分布表各频率和为1的特点易得第4组的频率,进而可得a和n的值;(2)由(1)可知第一组,第五组分别抽到的2个分数,3个分数,分别记作A1,A2,和B1,B2,B3由列举法可得答案【解答】解:(1)由频率分布表可得第4组的频率为:10.050.2250.350.075=0.3a=0.03,n=120(2)由分层抽样的特点可得:第一组应抽0.0540=2个,第五组应抽0.07540=3个(3)设第一组抽到的2个分数记作A1,A2,第五组的3个记作B1,B2,B3从这两组中抽取2个有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共10种,其中平均分不低于70分的有9种,故所求的概率为:P=21. 现有A,B两个投资项目,投资两项目所获得利润分别是和(万元),它们与投入资金(万元)的关系依次是:其中与平方根成正比,且当为4(万元)时为1(万元),又与成正比,当为4(万元)时也是1(万元);某人甲有3万元资金投资.(I)分别求出,与的函数关系式;(ii)请帮甲设计一个合理的投资方案,使其获利最大,并求出最大利润是多少?参考答案:解:(I)设P,Q与x的的比例系数分别是 ,且都过(4,1) 所以:,(II)设甲投资到A,B两项目的资金分别为(万元),()(万元),获得利润为y万元由题意知:所以当=1,即=1时,答:甲在A,B两项上分别投入为1万元和2万元,此时利润最大,最大利润为1万元.略22. (本小题满分8分)某网站欲调查网民对当前网页的满意程度,在登录的所有网民中,收回有效帖子共50000份,其中持各种态度的份数如下表所示很满意满意一般不满意10800124001560011200 为了调查网民的具体想法和意见,以便决定如何更改才能使网页更完美,打算从中抽选500份,为使样本更具有代表性,每类帖子中各应抽选出多少份?参考答案:首先确定抽取比例,然后再根据各层份数确定各层要抽取的份数. =, -2分 =108,=124,=156,=112.- -4分 故四种态度应分别抽取108、124、156、112份进行调查.- -8分略
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