陕西省西安市师范大学锦园中学2022-2023学年高一数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知球的表面积为64，则它的体积为（）A16BC36D参考答案：B【考点】球的体积和表面积【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，然后计算球的体积即可【解答】解：设球的半径为r，球的表面积为64，4r2=64，即r2=16，解得r=4，球的体积为=故选B2. 化简等于（ ）（A）（B）（C）（D）参考答案：B【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B3. 已知两圆C1：x2+y2=1，C2：（x3）2+（y4）2=16，则这两圆的位置关系是（）A相交B外切C内含D内切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】直线与圆【分析】根据两圆的标准方程求出这两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距C1C2等于半径之和，得出结论【解答】解：已知圆C1：x2+y2=1，C2：（x3）2+（y4）2=16，则圆C1（0，0），C2（3，4），半径分别为：1，4两圆的圆心距C1C2=5，等于半径之和，故两圆相外切，故选：B【点评】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于中档题4. 从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是A B C D参考答案：D略5. 已知等差数列的前n项和为等于 （ ） A144 B72 C54 D36参考答案：B6. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：C7. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A. B. C. D.参考答案：B8. 中，三边长分别为、，且，则的形状为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 参考答案：A9. 如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF下列结论：点G是BC中点；FG=FC；SFGC=其中正确的是 （ ） A. B. C. D.参考答案：B10. 已知函数，给出下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期是2BCD参考答案：D【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，得出结论【解答】解：对于函数=sin（2x+），它的最小正周期为=，故排除A；令2x+=k+，求得x=+，kZ，可得它的对称轴方程为x=+，kZ，故排除B；令2x+=k，求得x=，kZ，可得它的对称中心为（，0），kZ，故排除C；根据f（x）=sin2（x）+=sin2x，为奇函数，故选：D【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为_参考答案：12. 对于正项数列an，定义为an的“光”值，现知某数列的“光”值为，则数列an的通项公式为 参考答案：13. 一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个的圆，尺寸如图，那么这个几何体的侧面积为 参考答案：14. 定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1=1，2，4的“长度”为3，集合A2=3的“长度”为0已知集合U=1，2，3，4，5，6，则U的所有非空子集的“长度”之和为参考答案：201【考点】排列、组合的实际应用；子集与真子集【分析】根据题意，结合集合长度的定义，对集合A的子集分6种情况讨论，每种情况下分析符合条件的子集的数目，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，集合长度的定义，对集合A的子集分类讨论：、长度为0的子集，共6个：即1、2、3、4、5、6，、长度为1的子集，必须为两个元素的集合，且其元素为相邻的两个自然数，共5个：即1，2、2，3、3，4、4，5、5，6，、长度为2的子集，即子集中最大最小元素差为2，其中最小、最大元素有4种情况：即1、3，2、4，3、5，4、6；每种情况有2个子集，则共有8个子集，、长度为3的子集，即子集中最大最小元素差为3，其中最小、最大元素有3种情况：即1、4，2、5，3、6；每种情况有4个子集，则共有12个子集，、长度为4的子集，即子集中最大最小元素差为4，其中最小、最大元素有2种情况：即1、5，2、6；每种情况有8个子集，则共有16个子集，、长度为6的子集，即子集中最大最小元素差为5，其中最小、最大元素有1种情况：即1、6；则共有16个子集，则U的所有非空子集的“长度”之和为：60+51+82+123+164+165=201；故答案为：20115. （5分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 参考答案：3考点：球的体积和表面积 专题：计算题；球分析：设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可解答：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4r2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4r2解得r=3，故答案为：3点评：本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题16. 幂函数的图象经过点，则值为 . 参考答案：-2717. 一袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则1只红球和1只黄球的概率为_，2只球颜色相同的概率为_.参考答案： 【分析】由题,求得基本事件的总数15种,再求得1只红球和1只黄球的及2只颜色相同包含的基本事件的个数,根据古典概型及其概率的计算公式,即可求解.【详解】由题意,一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球,其中有3只红球、2只黄球和1只篮球,从中1次随机摸出2只球,则基本事件的总数为种情况.1只红球和1只黄球包含的基本事件个数为,所以1只红球和1只黄球的概率为;又由2只颜色相同包含的基本事件个数为,所以2只颜色相同的概率为.故答案为:,.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用,其中解答中认真审题,利用排列、组合的知识分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,难度较易.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图： PA平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（）求三棱锥E-PAD的体积;（）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.参考答案：解: （）三棱锥的体积. -4分（）当点为的中点时，与平面平行.在中，、分别为、的中点， ， 又平面，而平面， 平面. 分（）证明:,，又,又，. 又,点是的中点,. -分略19. 已知且，求函数的最大值和最小值参考答案：解：由得，即， .当，当略20. （本小题满分12分）受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象.通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口. 某港口在某季节每天港口水位的深度（米）是时间（，单位：小时，表示0：00零时）的函数，其函数关系式为. 已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米.（1）试求函数的表达式；（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？参考答案：（1）依题意，又，又，（2）令得，或该船当天安全进港的时间为15点和1317点，最迟应在当天的17点以前离开港口.21. (本小题满分14分)数列an中，a1 = 1，当时，其前n项和满足.（）求Sn的表达式；（）设，数列bn的前n项和为，求参考答案：22. 已知函数为奇函数，且（1）求实数a与b的值；（2）若函数，数列an为正项数列，且当，时，设（），记数列an和bn的前n项和分别为，且对有恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）根据函数奇偶性得到，再由，得;（2），将原式化简得到，进而得到，数列的前项和，原恒成立问题转化为对恒成立，对n分奇偶得到最值即可.【详解】（1）因为为奇函数，得，又，得。（2）由（1）知，得，又，化简得到：，又，所以，又，故，则数列的前项和；又，则数列的前项和为，对恒成立对恒成立对恒成立，令，则当为奇数时，原不等式对恒成立对恒成立，又函数在上单增，故有；当为偶数时，原不等式对恒成立对恒成立，又函数在上单增，故有。综上得。【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性的应用以及数列通项公式的求法，数列前n项和的求法，还涉及不等式恒成立的问题，属于综合性较强的题目，数列中最值的求解方法如下：1邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性