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绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)数 学试卷类型:A本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合,即可根据交集的运算解出方法二:将集合中的元素逐个代入不等式验证,即可解出【详解】方法一:因为,而,所以故选:C方法二:因为,将代入不等式,只有使不等式成立,所以故选:C2. 已知,则( )A. B. C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出,再由共轭复数的概念得到,从而解出【详解】因为,所以,即故选:A3. 已知向量,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出,再根据向量垂直的坐标表示即可求出【详解】因为,所以,由可得,即,整理得:故选:D4. 设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性,判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增,而函数在区间上单调递减,则有函数在区间上单调递减,因此,解得,所以的取值范围是.故选:D5. 设椭圆的离心率分别为若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定的椭圆方程,结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由,得,因此,而,所以.故选:A6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为,则( )A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】方法一:根据切线的性质求切线长,结合倍角公式运算求解;方法二:根据切线的性质求切线长,结合余弦定理运算求解;方法三:根据切线结合点到直线的距离公式可得,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一:因为,即,可得圆心,半径,过点作圆C的切线,切点为,因为,则,可得,则,即为钝角,所以;法二:圆的圆心,半径,过点作圆C的切线,切点为,连接,可得,则,因为且,则,即,解得,即为钝角,则,且为锐角,所以;方法三:圆的圆心,半径,若切线斜率不存在,则切线方程为,则圆心到切点的距离,不合题意;若切线斜率存在,设切线方程为,即,则,整理得,且设两切线斜率分别为,则,可得,所以,即,可得,则,且,则,解得.故选:B. 7. 记为数列的前项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件定义及等差数列的定义,再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.,【详解】方法1,甲:为等差数列,设其首项为,公差为,则,因此为等差数列,则甲是乙的充分条件;反之,乙:为等差数列,即为常数,设为,即,则,有,两式相减得:,即,对也成立,因此为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C正确.方法2,甲:为等差数列,设数列的首项,公差为,即,则,因此为等差数列,即甲是乙的充分条件;反之,乙:为等差数列,即,即,当时,上两式相减得:,当时,上式成立,于是,又为常数,因此为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件.故选:C8. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件,利用和角、差角的正弦公式求出,再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为,而,因此,则,所以.故选:B【点睛】方法点睛:三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据,其中是最小值,是最大值,则( )A. 的平均数等于的平均数B. 的中位数等于的中位数C. 的标准差不小于的标准差D. 的极差不大于的极差【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A:设的平均数为,的平均数为,则,因为没有确定的大小关系,所以无法判断的大小,例如:,可得;例如,可得;例如,可得;故A错误;对于选项B:不妨设,可知的中位数等于的中位数均为,故B正确;对于选项C:因为是最小值,是最大值,则的波动性不大于的波动性,即的标准差不大于的标准差,例如:,则平均数,标准差,则平均数,标准差,显然,即;故C错误;对于选项D:不妨设,则,当且仅当时,等号成立,故D正确;故选:BD.10. 噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可知,结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知:,对于选项A:可得,因为,则,即,所以且,可得,故A正确;对于选项B:可得,因为,则,即,所以且,可得,当且仅当时,等号成立,故B错误;对于选项C:因为,即,可得,即,故C正确;对于选项D:由选项A可知:,且,则,即,可得,且,所以,故D正确;故选:ACD.11. 已知函数的定义域为,则( )A. B. C. 是偶函数D. 为的极小值点【答案】ABC【解析】【分析】方法一:利用赋值法,结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例即可排除选项D.方法二:选项ABC的判断与方法一同,对于D,可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一:因为,对于A,令,故正确.对于B,令,则,故B正确.对于C,令,则,令,又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,对于D,不妨令,显然符合题设条件,此时无极值,故错误.方法二:因为,对于A,令,故正确.对于B,令,则,故B正确.对于C,令,则,令,又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,对于D,当时,对两边同时除以,得到,故可以设,则,当肘,则,令,得;令,得;故在上单调递减,在上单调递增,因为为偶函数,所以在上单调递增,在上单调递减,显然,此时是的极大值,故D错误.故选:.12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )A. 直径为的球体B. 所有棱长均为的四面体C. 底面直径为,高为的圆柱体D. 底面直径为,高为的圆柱体【答案】ABD【解析】【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A:因为,即球体的直径小于正方体的棱长,所以能够被整体放入正方体内,故A正确;对于选项B:因为正方体的面对角线长为,且,所以能够被整体放入正方体内,故B正确;对于选项C:因为正方体的体对角线长为,且,所以不能够被整体放入正方体内,故C不正确;对于选项D:因为,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆,如图,过的中点作,设,可知,则,即,解得,且,即,故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱,若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切,设圆柱的底面圆心,与正方体的下底面的切点为,可知:,则,即,解得,根据对称性可知圆柱的高为,所以能够被整体放入正方体内,故D正确;故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有_种(用数字作答)【答案】64【解析】【分析】分类讨论选修2门或3门课,对选修3门,再讨论具体选修课的分配,结合组合数运算求解.【详解】(1)当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有种;(2)当从8门课中选修3门,若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有种;若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有种;综上所述:不同的选课方案共有种.故答案为:64.14. 在正四棱台中,则该棱台的体积为_【答案】#【解析】【分析】结合图像,依次求得,从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图,过作,垂足为,易知为四棱台的高, 因为,则,故,则,所以所求体积为.故答案:.15. 已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】令,得有3个根,从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为,所以,令,则有3个根,令,则有3个根,其中,结合余弦函数的图像性质可得,故,故答案为:.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为点在上,点在轴上,则的离心率为_【答案】# 【解析】【分析】方法一:利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式,从而利用勾股定理求得,进而利用余弦定理得到的齐次方程,从而得解.方法二:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得,将点代入双曲线得到关于的齐次方程,从而得解;【详解】方法一:依题意,设,则,在中,则,故或(舍去),所以,则,故,所以在中,
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