基本不等式16类【题型一】基础型【典例分析】在下列函数中，最小值是2的是x2x+2(TtAA.y=二+B.y=j=(x0)c.j=sinx+cosx,xe0,n.y=T+7-”2xVx+lI2)【答案】Dx2【解析】人.歹=二+一，当x2，当x=0时取等节,不符合题思；y/X+1X+1,yX+1O=S欣+8a=后中用,二陷,.、借广岫用住不符合题意;D.y=T+7f22,当且仅当x=0时取等号，符合题意.故选D.【变式演练】1 .已知关于X的不等式/-5ax+2a20)的解集为(玉,马)，则再+x2+的最小值是【答案】历【详解】由于。0,故一元二次方程2一5+2a2=。的判别式：=25/-4-2/=17/0,由韦达定理有：贝1J：Xi+X2+_L=5a+-=5a+2.Lx=710,XjX2=2aXjX22a2aV2a当且仅当5a=1-,a=巫时等号成立.综上可得：x,+x2+-的最小值是布.2a10砧).2 .若久力都是正数，贝1+扑1+宗)的最小值为(A.5【答案】CC.9D.13【详解】因为久8都是正数，所以1 +1+” bu b 4a =5+ + a b2 5+212-竺=9,(当且仅当6 = 240V a h时取等号)，故本题选C.3 .在区间-2,4上随机地取一个数x,使。2+滔g2国恒成立的概率是()A.-B.yC.-D.-3234【答案】A【详解】/+2国恒成立，即国4(1+/1,设y=I+/,则=+(/+1)-122-1=1,aI11ai/minaI1dI1当且仅当去=/+1,即。=0时，等号成立，所以问题转化为国41,即74x41,所以在区间-2,4上11-(-1)1随机地取一个数X时，使。2+号12kl恒成立的概率是P=故选择A.【题型二】“1”的代换型【典例分析】已知x,y均为正实数，且生S=：+则x+3y的最小值为xy2【详解】x,y均为正实数，生W+C,x + 3y =xy y x 2yz(x+3y)+ J621 z_ 3y 2x5(7+J -)-+6 x )21+娓27+ 26)=2.当a=缶时等号成立故答案为：2【变式演练】321.已知0,b09-+-=1,则2。+3b的最小值为()baA.20B.24C.25D.28【答案】C【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值.【详解】由题意2a+36=(2a+36)(2+3)=i3+丝+竺213+2,7=25,当且仅当竺=，即a=b=5abba、baba时等号成立.故选：C.412.已知a0,60,3+7=1,则一+36的最小值为(baA. 13B. 19C. 21D. 27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【详解】+36=（1+36（34+=3+12+乙9必5+27=27,当且仅当&=9M,即。=,b=6ayaJbJahab9时，等号成立，故1+36的最小值为27。故选：Da.7a2+12b2+43.已知正实数。，6满足a+6=1,则竺+22的最小值为ah【详解】因为a+b = l,且a,b都是正实数.所以2/+I2岸+4的最小值为11+ab【题型三】“和”与“积”互消型【典例分析】已知x、y都是正数，且满足x+2y+xy=30,则寸的最大值为.【答案】18.【分析】根据基本不等式x+2yN2炳，得到关于历的不等式，解得府的范围，从而得到孙的范围，求出答案.【详解】因为x,y0,且x+2y+xy=30,所以30k=x+2y227,（当且仅当x=2y时，取等号）即（历了+20府-3040,解得-5&4而43啦，所以得00,V0,且4x+2y-盯=0,则2x+y的最小值为(A. 16C. 12【答案】A【分析】由题意得，-+-=1,再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.xy【详解】由题可知2+3=1,乘“1”得2x+y=(2x+y)(2+$=如+生+822、除&+8=16,当且仅当xyyxyjyxQy7V一=:时，取等号，则2x+y的最小值为16.故选：Ayx2.已知x0,y0,且2x+9y+6中=9,贝！j2x+9y的最小值为.【答案】6【分析】利用基本不等式有6v=；x2xx9yS；x(笥型J,再利用一元二次不等式的解法，由9-(2x+9y)V(2x+9求解.【详解】由2x+9y+6孙=9,得6V=9-(2x+9y),又x0,y0,6xy=jx2xx9y0,;.2x+9”6,当且仅当2x=9y,即x=；,y=：时取等号.故答案为：6.3.已知x,y0,x+2y+xy-6=0,则(多选题)A.xy的最大值为2B.x+2y的最小值为4C.x+j，的最小值为3D.X+)，的最小值为4应-3【答案】ABD【详解】对于A选项：由均值不等式得x+2y22吸耳，则x+2y=6-中N2&JE,令历=，。0),/2+2V2Z-6(/+V2)2-80,解得0f4正，即历4近，xy又k=6-(x+2y),28,(”+N6-(x+2y)=(x+2yy+8(x+2y)-4820,解得x+2y24,x+2y0,则歹=切一丫,贝1+2+W一6=0可化为+2（加一）+（加x）6=0,整理f+（1?）x+62m=0,.此方程一定有解，.20,即（l-m）2-4x（6-2?）20,解得加24啦-3，m- (10 + 2p)=/4x+1y+24，x+1 y+2当且仅当歹+2=3（x+l）取等号，故选：B【变式演练】121 .已知xLy0,且一；+=1,贝!)尢+2-1的最小值为()x-1yA.9B.10C.11D.7+2通【答案】A12【详解】/xl,又y0,且=1,: x + 2y -1 = (x -1) + 2歹x-1y=5+至+现25+2月.於=9,x-1yyx-1y当且仅当%=也心，解得x=4,y=3时等号成立，故x+2y-l的最小值为9.故选：A.x-1y2 .已知正数。、人满足a+b=l,则&-+二的最小值是（）I-a1bA.1B.2C.4D.8【答案】C4h41I44b【分析】得出产+二=；+-5,将代数式上+；与4+相乘，展开后利用基本不等式可求得；-+二-a-bbaab-a-b的最小值.【详解】已知正数。、b满足a+b=l,则4ab4(1-6)-a41.f41Yx4abUab-a-bbabaybajbaNba当且仅当b=2a时，等号成立，因此，*-+工的最小值是4.故选：C.1a1b413.设xy0,贝!|X+的最小值为()x+yx-yA.3亚B.26C.4D.【答案】A【分析】原式可变形为x+/一+一=l(x+y)+|+|l(x-)+，然后根据基本不等式即可求x+yx-y|_2x+yj2x-y解【详解】/x 0 , Ax-y 0 ,x+-+47)+x+yx-y)x+y|_2、722&(x+y)x+2&(x-y)x!=2五+&=30,当且仅当!(工+1)=-,(工一丁)二2x+y丫2x-y2x+y2x-y即X=述,y=时取等号故选：A22【题型五】构造分母：待定系数【典例分析】已知正实数X,J,满足4x+3y=4,则不!_+不二的最小值为()2x4-13y+2.3V2_141r1V2n14184232322【答案】A【分析】将4x+3y=4变形为含2x+l和3y+2的等式，即2(2x+l)+(3y+2)=8,再将式子换元，由基本不等式换“1法求解即可【详解】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8.令o=2x+l力=3y+2,可得2a+b=S.所求 12x + l 3y+ 2*|2+2卮+在乎当且仅当,3时取等号，所以答案为白今故选A【变式演练】1.知正实数X、y满足一+丁二=1,则X+），的最小值为（）x+3y2x+y.3+2&D3+3贬_2+2a_2+30ADLU.5555【答案】A【分析】利用待定系数法可得出x+y=U（x+3y）+2（2x+y）,与一-+丁二相乘，展开后利用基本不等式可求得x+y的最小值.【详解】设4+9 =洲(4+3力 + 吊(2%+刃=(加+2)+(3加+)3,可得m + 2 = 13m + = 11 m = 解得，2I 5J(2x + y)+ 3y 51_ x + 3y 2x + y_|34+=1 4Z+3=23 + 2 J2(a + 3b) 3a+ 4/?3+ 2&3q + 46 q +3b 5a + 2b = 1当且仅当，2(a+3b) 3a +46时，等号成立, 、3a + 4b a + 3b所以，x+尸如+3y）+2（2x+y）志+合13+2，,：；）.迫=丑詈.当且仅当x+3y=（2x+y）时，等号成立,因此，x+y的最小值为3+2&故选:a.52.已知a0,b0,a+26=1,则1取到最小值为3a+46a+3b电、3+20答案-【解析】试题分析：令a+2b=A(3a+46)+(a+3Z)=(32+)a+(4A+3)b,1