1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（基础知识+基本题型）知识点一 空间中点、直线、平面的向量表示1点的位置向量如图32-1，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示我们把向量称为点的位置向量2直线的方向向量空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定如图32-2点是直线上一点向量表示直线的方向(方向向量)在直线上取，那么对于直线上任意一点，一定存在实数，使得这样，点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出上的任意一点.拓展线段中点的向量表达式在中，当时，我们就可以得到线段中点的向量表达式设点是线段的中点，则，这就是线段中点的向量表达式3用直线确定平面空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定，如图32-3所示设这两条直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得这样，点与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点提示(1)空间中一条直线的方向向量有无数个(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起着重要的作用，要结合空间实例加深理解知识点二 平面的法向量1平面法向量的定义如图32-4直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量给定一点和一个向量则过点，以向量为法向量的平面是完全确定的2平面法向量的性质(l)平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行拓展求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量. 知识点三 用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1）线线平行设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即。（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。 根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。 （3）面面平行由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明。知识点四、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。（1）线线垂直设直线，的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即。（2）线面垂直设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（3）面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。证明两个平面的法向量互相垂直。考点一 用空间向量证明平行关系1线线、线面平行例1 如图3 2-5在正方体中，分别是的中点，求证: 平面分析:证明线面平行问题，有以下三种方法:一是证明与平面的法向量垂直；二是在平面内找一个向量与共线；三是证明可以用平面中的两个不共线向量线性表示证明:方法1:如图32-6，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1则所以设平面的一个法向量为，则，从而可得，解得令，则，所以因为，所以又因为平面，所以平面方法2:因为所以，从而可知平面方法3:因为所以可用与线性表示故与和是共面向量所以平面，即平面2面面平行例2 已知正方体，求证:平面 /平面.证明:方法1:设正方体的棱长为1，建立如图3.2-7所示的空间直角坐标系则设平面的法向量为又因为，所以，即令，可得平面的一个法向量为设平面的法向量为，又因为，所以，即令，可得平面的一个法向量为因为，所以所以平面平面方法2：由方法1，得，所以，即，所以平面，平面又因为，所以平面平面利用空间向量证明面面平行有两种方法：（1）求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行得证（2）将法向量和综合法相结合，从而避免了求平面法向量的复杂计算考点二 用空间向量证明垂直关系1. 线线、线面垂直例3 在正方体中，分别为，的中点，求证：平面分析：方法1：通过验证与平面内两条相交直线的方向向量垂直，证明平面；方法2：通过验证直线的方向向量与平面的法向量平行，证明平面证明：方法1：设正方体的棱长为，建立如图3.2-8所示的空间直角坐标系则，EABCDxyzFA1B1C1D1所以，所以，所以，又因为，所以平面方法2：设平面的法向量为 由方法1，得，则，即令，可得平面的一个法向量为又因为，所以故平面（1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量的数量积为0即可得证（2）利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行2. 面面垂直例3 如图3.2-9，底面是正方形，平面，且，是的中点求证：平面平面OABCDESxyz图3.2-9分析：已知平面，可将证明平面平面转化为寻找平面内一条直线与平行；也可通过证明两平面的法向量垂直来证明两平面垂直证明：方法1：设，建立如图3.2-9所示的空间直角坐标系则，连接，设与相交于点，连接，则点的坐标为因为，所以所以又因为平面，所以 又因为平面，所以平面平面方法2：设平面的法向量为，因为，所以，即令，可得平面的一个法向量为因为平面，所以平面的一个法向量为因为，所以平面平面利用空间向量证明面面垂直有两种方法：一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直