高一年级 数学向量数量积的概念(第一课时)向量的运算复习回顾向量的线性运算向量的加法、减法运算向量的数乘运算向量的运算向量的线性运算向量的加法、减法运算向量的数乘运算向量的数量积复习回顾F FF Fs s物理情境：图1F FF Fs s物理情境：图1F FF Fs sF FF Fs s物理情境：图1图2F FF Fs sF FF Fs s物理情境：图1图2F FF Fs sF FF Fs s物理情境：图1图2F FF Fs sF FF Fs s物理情境：图1图21.两个向量的夹角a ab ba ab ba aO OA A1.两个向量的夹角a ab ba ab bO OA AB B1.两个向量的夹角给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作则称0，内的AOB为向量a与向量b的 a ab ba ab bO OA AB B夹角，记作 1.两个向量的夹角a ab be ed dc c图图3 3a ab be ed dc ca aO OA A图图3 3a ab be ed dc ca ab bO OA AB B两个向量的位置关系a与b方向相同图图3 3a ab be ed dc ca ab bO OA AB B两个向量的位置关系a与b方向相同图图3 3夹角a ab be ed dc ca ab bO OA AB B两个向量的位置关系a与b方向相同图图3 3夹角a ab be ed dc ca ab bc cO OA AB BC C夹角图图3 3两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反a ab be ed dc ca ab bc cO OA AB BC C夹角图图3 3两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反a ab be ed dc ca ab bc cO OA AB BC C夹角图图3 3两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a ab be ed dc ca ab bc cO OA AB BC C夹角图图3 3两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a ab be ed dc ca ab bd dc cO OA AB BC CD D图图3 3夹角两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a ab be ed dc ca ab bd dc cO OA AB BC CD D图图3 3夹角两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a ab be ed dc ca ab bd dc cO OA AB BC CD D图图3 3夹角两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线a ab be ed dc ca ab bd dc cO OA AB BC CD D图图3 3夹角两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线a与d所在的直线相交a ab be ed dc ca ab be ed dc cO OA AB BC CD DE E图图3 3夹角两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线a与d所在的直线相交a ab be ed dc ca ab be ed dc cO OA AB BC CD DE E图图3 3称向量a与向量e垂直，记作ae.当时，a ab be ed dc ca ab be ed dc cO OA AB BC CD DE E图图3 3夹角两个向量的位置关系a与b方向相同a与c方向相反几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线a与d所在的直线相交a与e垂直a与e所在的直线垂直给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作则称0，内的AOB为向量a与向量b的 注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.1.两个向量的夹角夹角，记作 给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作则称0，内的AOB为向量a与向量b的 规定：在讨论垂直问题时在讨论垂直问题时，零向量和任意向量垂直零向量和任意向量垂直.注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.1.两个向量的夹角夹角，记作 给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作则称0，内的AOB为向量a与向量b的 规定：在讨论垂直问题时在讨论垂直问题时，零向量和任意向量垂直零向量和任意向量垂直.结论：注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.1.两个向量的夹角夹角，记作 2.向量数量积的定义一般地，当 都是非零向量时，称为向量 的数量积（也称为内积），记作 即 练习1.已知 2.已知 3.已知 练习1.已知 解 由已知可得练习1.已知 解 由已知可得2.已知 练习解 由已知可得2.已知 练习解 由已知可得3.已知 练习解 由已知可得3.已知 练习解 由已知可得3.已知 练习解 由已知可得练习向量的数量积向量a的模长两个向量夹角余弦值向量b的模长四个量可“知三求一”一般地，当 都是非零向量时，称为向量 的数量积（也称为内积），记作 即 注意：(1)两个非零向量的数量积是一个实数.2.向量数量积的定义一般地，当 都是非零向量时，称为向量 的数量积（也称为内积），记作 即 注意：(1)两个非零向量的数量积是一个实数.圆点“”连接，不能用“”连接，也不能省略.(2)两个非零向量的数量积在书写时，之间用实心 2.向量数量积的定义a a图4b ba ab b图4a ab b图4a ab b图4a ab b图4a ab b图4a ab b图4a ab b(3)两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数，符号由两个向量夹角决定.2.向量数量积的定义图4a ab b规定：零向量与任意向量的数量积为0.2.向量数量积的定义(3)两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数，符号由两个向量夹角决定.图43.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同(1)3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反(1)3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反(1)3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反(1)3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反(1)应用：求向量的模长.3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.设a和b都是非零向量.3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.由向量的数量积可知3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.由向量的数量积可知因为0，3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.由向量的数量积可知因为0，3.向量数量积的性质1，所以-1设a和b都是非零向量.由向量的数量积可知因为0，1，所以3.向量数量积的性质1，所以-1设a和b都是非零向量.由向量的数量积可知因为0，1，所以3.向量数量积的性质1，所以-1设a和b都是非零向量.由向量的数量积可知因为0，1，所以3.向量数量积的性质1，所以-1设a和b都是非零向量.由向量的数量积可知因为0，1，所以3.向量数量积的性质1，所以-1设a和b都是非零向量.(2)由向量的数量积可知因为0，1，所以所以3.向量数量积的性质1，所以-1应用：主要用于与不等式有关的问题中.(1)(2)3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.(1)(2)注意：当a和b至少有一个是零向量时，数量积的性质（1）和（2）还都成立.3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，当a和b都是非零向量时，因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，当a和b都是非零向量时，因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有 因为零向量模长为0，所以有3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，(3)当a和b都是非零向量时，因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有 因为零向量模长为0，所以有3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，例1(1)已知 (2)已知；4.例题讲解例1(1)已知 (2)已知 解(1)由已知可得4.例题讲解；例1(1)已知 (2)已知 解(1)由已知可得4.例题讲解；例1(1)已知 (2)已知 解(2)由可知4.例题讲解；例1(1)已知 (2)已知 4.例题讲解；解(2)由可知例1(1)已知 (2)已知 因此4.例题讲解；解(2)由可知例1(1)已知 (2)已知 因此从而可知4.例题讲解；解(2)由可知例1(1)已知 (2)已知 应用：求两个向量的夹角.由例1（2）可以得到如果a，b都是非零向量，则4.例题讲解；的符号与一致如果a，b都是非零向量，则的符号与一致如果a，b都是非零向量，则例2 在ABC中，(1)若，试判断ABC的形状；4.例题讲解(2)若求4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若思路分析：ABC，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若思路分析：ABC判断ABC的形状，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围与ABC内角的关系，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围与ABC内角的关系，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围与ABC内角的关系，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围与ABC内角的关系，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若解(1)由可得因为所以所以为钝角.所以ABC为钝角三角形.，试判断ABC的形状；例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求思路分析：ABC求例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求思路分析：ABC求例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求思路分析：ABC求例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求思路分析：ABCD求例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求思路分析：ABCD求与ABC内角的关系例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求思路分析：ABCD求与ABC内角的关系例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若求解(2)由得5.课堂小结研究路径：运算性质功向量数量积的定义应用5.课堂小结研究路径：研究内容：运算性质功向量数量积的定义应用向量的数量积两个向量的夹角定义运算性质定义：给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作则称0，内 AOB为向量a与向量b 记作 的夹角，作用：刻画两个非零向量的位置关系.定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称为向量 a与b的数量积 （也向称 为内积），记作 即 规定：零向量与任意向量的数量积为0.规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.(3)(1)(2)应用：求向量的模长，不等式问题，判断垂直关系.即1.(1)已知 (2)已知；2.已知ABC中是边长为2的等边三角形，求作业：1.(1)已知 (2)已知；解(1)由已知可得作业：作业：1.(1)已知 (2)已知；解(2)由可知因此从而可知2