第二篇重点专题分层练，中高档题得高分第18练 概率与统计的综合问题中档大题标准练明晰考情1.命题角度：概率与统计知识的交汇处是高考命题的考点.2.题目难度：中档难度.核心考点突破练栏目索引模板答题标准练考点一古典概型与几何概型要点重组要点重组(1)古典概型的两个特征古典概型的两个特征试试验验中中所所有有可可能能出出现现的的根根本本领领件件只只有有有有限限个个；每每个个根根本本领领件件发发生生的的可能性相等可能性相等.(2)几几何何概概型型将将古古典典概概型型的的有有限限性性推推广广到到无无限限性性，几几何何概概型型的的测测度度包包括括长长度、面积、角度、体积等度、面积、角度、体积等.核心考点突破练1.A，B两个盒子中分别装有标记为1,2,3,4的大小一样的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球.(1)用有序数对(i，j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球，试写出所有可能的事件；解答解解甲、乙两人抽到的小球的所有情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种不同的情况.(2)甲、乙两人玩游戏，约定规那么：假设甲抽到的小球的标号比乙大，那么甲胜；反之，那么乙胜.你认为此游戏是否公平？请说明理由.解答解解甲抽到的小球的标号比乙大，有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6种情况，2.集合A2,2，B1,1，设M(x，y)|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素(x，y).(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21内的概率；解答解解集合M内的点形成的区域面积S8.(2)求以(x，y)为坐标的点到直线xy0的距离不大于的概率.解答即1xy1，形成的区域如图中阴影局部(含边界)所示，阴影局部面积S24，3.关于x的一元二次方程9x26axb240，a，bR.(1)假设a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有两个不相等实根的概率；解答(2)假设a是从区间0,3内任取的一个数，b是从区间0,2内任取的一个数，求方程有实数根的概率.解答解解a，b的取值所构成的区域如下图，其中的取值所构成的区域如下图，其中0a3,0b2.构构成成事事件件B的的区区域域为为(a，b)|0a3,0b2，a2b24(如如图图中中阴阴影影局局部部(含边界含边界)，考点二 统计与古典概型的综合方方法法技技巧巧概概率率与与统统计计的的综综合合题题一一般般是是先先给给出出样样本本数数据据或或样样本本数数据据的的分分布布等等，解解题题中中首首先先要要把把数数据据分分析析清清楚楚，明明确确频频率率可可近近似似替替代代概概率率，抽抽象象得到古典概型得到古典概型.把握根本领件的构成要素把握根本领件的构成要素.4.(2021东莞模拟)近几年来，“精准扶贫是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以开展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进展回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数x(户)与扶贫后脱贫家庭数y(户)的数据关系如下：解答政府扶贫资金数(万元)3579政府扶贫贫困家庭数x(户)204080100扶贫后脱贫家庭数y(户)10307090(1)求几年来该地依靠“精准扶贫政策的脱贫率是多少？(答案准确到0.1%).(2)从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率.解答以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.5.(2021全国)某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；解答解解这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.解答(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解解当当这这种种酸酸奶奶一一天天的的进进货货量量为为450瓶瓶时时，假假设设最最高高气气温温不不低低于于25，那那么么Y64504450900；假假设设最最高高气气温温位位于于区区间间20,25)，那那么么Y63002(450300)4450300；假设最高气温低于假设最高气温低于20，那么，那么Y62002(450200)4450100，所以，所以，Y的所有可能值为的所有可能值为900,300，100.Y大大于于零零当当且且仅仅当当最最高高气气温温不不低低于于20，由由表表格格数数据据知知，最最高高气气温温不不低低于于20的频率为的频率为 0.8.因此因此Y大于零的概率的估计值为大于零的概率的估计值为0.8.6.(2021北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30)，30,40)，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：解答(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50)内的人数；解答解解根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间40,50)内的人数为1001000.955，所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400 20.(3)样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解答考点三古典概型与统计案例方方法法技技巧巧(1)回回归归分分析析和和概概率率的的交交汇汇问问题题，要要明明确确所所给给数数据据的的作作用用，抽抽象象出出随随机机事事件件和和古古典典概概型型；回回归归分分析析问问题题解解决决的的关关键键是是找找到到样样本本点点，确定回归类型和回归方程确定回归类型和回归方程.(2)独独立立性性检检验验与与古古典典概概型型的的综综合合问问题题，要要明明确确所所要要研研究究的的分分类类变变量量，根根据据数数据据正正确确编编制制列列联联表表，然然后后通通过过K2公公式式计计算算并并利利用用参参考考数数据据得得到到结论结论.7.(2021惠州模拟)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进展研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：解答日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/101113128发芽数y/颗2325302616(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率；(2)假设由线性回归方程得到的估计数据与4月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗，那么认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据4月7日，4月15日与4月21日这三天的数据，求出y关于x的线性回归方程 ，并判定所得的线性回归方程是否可靠？解答8.(2021马鞍山质检)某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：年龄段(岁)2029303940495060频数1218155经常使用多媒体教学61251解答(1)由以上统计数据完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？年龄低于40岁年龄不低于40岁总计经常使用多媒体教学不常使用多媒体教学总计P(K2k0)0.250.150.100.0500.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635(2)假设采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在3039岁的概率.解解由由题题意意，得得抽抽取取6人人，2029岁岁有有2人人，分分别别记记为为A1，A2；3039岁岁有有4人人，分分别别记记为为B1，B2，B3，B4；那那么么抽抽取取的的结结果果共共有有15种种：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，设设“至少有至少有1人年龄在人年龄在3039岁为事件岁为事件A，那么事件那么事件A包含的根本领件有包含的根本领件有14种，种，解答模板答题标准练模板体验典典例例(12分分)(2021全全国国)某某家家庭庭记记录录了了未未使使用用节节水水龙龙头头50天天的的日日用用水水量量数数据据(单单位位：m3)和和使使用用了了节节水水龙龙头头50天天的的日日用用水水量量数数据据，得得到到频频数数分布表如下：分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)0.6，0.7)频数13249265(1)在右图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)审题路线图审题路线图标准解答标准解答评分标准评分标准解解(1)4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48，8分因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.10分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3).12分构建答题模板构建答题模板第一步审审数数据据：根据题中图表确定统计中所需的数据，并计算频率，频率/组距等；第二步画图表画图表：根据所得的数据画出频率分布直方图；第三步估分布估分布：根据频率分布直方图估计总体的分布或其他特征.1.某儿童乐园在“六一儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如下图的转盘两次，每次转动后，待转盘停顿转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：假设xy3，那么奖励玩具一个；假设xy8，那么奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；标准演练解答(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解答解记解记“xy8为事件为事件B，“3xy8为事件为事件C.那么事件那么事件B包含的根本领件共包含的根本领件共6个，个，即即(2,4)