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第2.1章 2.1.2 集合间的基本关系高中要求1 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。2 在具体情境中,了解全集与空集的含义。子集 概念对于两个集合,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合是集合的子集().记作:(或),读作:包含于,或包含.当集合不包含于集合时,记作(或). 图 真子集概念:若集合,但存在元素且,则称集合是集合的真子集.记作:(或) (有些地方用或表示)读作:真包含于(或真包含)类比 与的关系就好比与小于的关系,是小于或等于,是真包含或相等;Eg:是对的,而是错的,若,则也成立;对比下,是对的,但是错的,若,则也成立. 集合相等如果是集合的子集,且集合是集合的子集,则集合与集合相等即 且. 几个结论 空集是任何集合的子集:; 空集是任何非空集合的真子集; 任何一个集合是它本身的子集; 对于集合,如果且,那么; 集合中有个元素,则子集的个数为,真子集的个数为.【题型1】 判断集合间的关系【典题1】 已知集合,判断集合的关系解析 ,且,的可能取值为又,分别是【典题2】集合,则的关系()A B C D解析 方法1 把每个集合用列举法表示, ,故,故选.方法2 设,其中;,则;,则,故.,则,不一定属于;故,故选.方法3 集合与的元素均是被除余,则;集合的元素是偶数,而集合元素是.变式练习1.指出下列各对集合之间的关系:,;是菱形,是平行四边形;,;,解析 集合的代表元素是数,集合的代表元素是抛物线上的点,故与之间无包含关系 菱形是特殊的平行四边形,故集合,用数轴表示集合如图所示,由图可知由列举法知,故2.若集合,且,则集合可能是 ()A B C D答案 解析 因为集合集合,且,所以集合是集合的子集,当集合时,满足题意,当集合时,不满足题意,当集合时,不满足题意,当集合时,不满足题意,故选3.已知集合若则与的关系是() 不能确定答案 解析 ,显然的分子为奇数,显然的分子为整数,集合的关系为,故选:4.已知集合,若,则实数的取值范围()答案 解析 已知集合,若,则集合包含集合的所以元素,解集合时,当时,不满足题设条件,当时,无实数解,集合为空集,满足条件,当0时,则1,即,综上则实数的取值范围为:故选:5.已知集合,且中至少含有一个奇数,则这样的集合有 个. 答案 3解析 集合,中至少含有一个奇数,这样的集合有个 6.已知集合,若,求的取值范围答案 解析 由题得因为,则,所以,解得;,则解得方程组无解;,则解得;,则无解综上【题型2】 求已知集合的子集或真子集【典题1】 集合,则的非空真子集的个数是()A个B个C个D个解析 由题意集合且 ,由对于含有个元素的集合,利用公式计算出的非空真子集个数,的非空真子集的个数是,故选: 变式练习1.若,则满足条件的集合的个数是()A B C D答案 解析 ,集合中除了含有两个元素以外,至少必须含有另外一个元素,因此满足条件的集合为,共个故选:2.已知集合,则的子集个数为 答案 解析 集合,中含有个元素,集合的子集个数有3.已知则集合的子集的个数是()答案 解析 由于,则 当时,当时,当时,当时当时,当时,当时故集合集合,所以集合子集个数为个故选:4.若集合有且仅有个子集,则实数的值是 ( )A B或 C或 D或答案 解析 要使得一个集合有且仅有个子集,则须使集合有且仅有个元素因此方程要么有且仅有一个实根,即;要么有且仅有两个相等的实根由得或.所以选 1.设是两个集合,有下列四个结论:若,则对任意,有;若,则集合中的元素个数多于集合中的元素个数;若,则;若,则一定存在,有其中正确结论的个数为()A4 B3 C2 D1答案 解析 对于,不一定,比如.故错误;若,不一定,比如.故错误;若,则,但不成立,故错误;若,则一定存在,有,故正确故正确结论的个数为个,故选:2.已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩()图是 ( )答案 解析 由,则.3.以下六个写法中:;正确的个数有()A个 B个 C个 D个答案 解析 对于:是集合与集合的关系,应该是;不对对于:空集是任何集合的子集,应该是;对对于:是一个集合,是集合与集合的关系,;不对对于:根据集合的无序性可知;对对于:是一个空集合,表示没有任何元素,应该是;不对正确的是:故选:4.如果,那么()A真包含于 B真包含于 C D与没有交集答案 解析 当为偶数,设,则,当为奇数,设,则,集合和的元素相同,故选:5.集合的非空真子集的个数()A16个 B15个 C14个 D13个答案 解析 集合有个元素,则集合有个子集,故集合的非空真子集的个数为;故选6.定义集合且,若,则的子集个数为 .答案 解析 由题意:,故其子集为,个数为.7.已知集合,集合,若,则实数_答案 解析 由题意知,又集合,因此,即故8.含有三个实数的集合可表示为,也可表示为,则的值为 .答案 解析 若,或,代回集合,不满足集合元素的互异性;则,得,从而易得;故.9.已知或,若,则实数的取值范围是_答案 或解析 作出数轴可得,要使,则必须或,解之得或10.集合,若,则由实数组成的集合为 答案 解析集合,或或由实数组成的集合为: 11.已知集合,其中(1)若,求实数的取值范围;(2)若求实数的取值范围答案 或解析 (1)因为,所以,解得或又,所以或,故或若,有;故的取值范围是:(2),当,即时,不合题意当,即时,所以解得当,即时,所以解得综上知,或
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