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第三章 函数第二节 函数的基本性质1.(2023全国甲卷理科13,文科14)若为偶函数,则 .【分析】利用偶函数的性质得到,从而求得,再检验即可得解.【解析】因为为偶函数,定义域为 ,所以,即,则,故 a = 2,此时,所以,又定义域为,故为偶函数,所以.故答案为2. 2.(2023全国乙卷理科4,文科5)已知是偶函数,则( )A. B. C. D.【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为为偶函数,则,又因为不恒为0,可得,即,则,即,解得.故选D. 3.(2023新高考I卷11)已知函数的定义域为,则( )A.B.C.是偶函数D.为的极小值点【解析】选项A,令,则,故A正确;选项B,令,则,所以,故B正确;选项C,令,则,因为,所以,令,则,所以是偶函数,故C正确;选项D,对式子两边同时除以,得到,故可以设,当时,令,解得,令,解得,故在单调递减,在单调递增.又是偶函数,所以在单调递增,在单调递减.的图像如图所示,所以为的极大值点,故D错误.故选ABC.4.(2023新高考II卷4)若为偶函数,则( )A. B. 0 C. D.【解析】,则.因为为偶函数,所以,即,所以有,得.故选B.5.(2023北京卷4)下列函数中,在区间上单调递增的是( )A. B. C. D.【分析】利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.【解析】对于A,因为在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递减,故A错误;对于B,因为在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递减,故B错误;对于C,因为在上单调递减,在上单调递减,所以在上单调递增,故C正确;对于D,因为,显然在上不单调,D错误.故选C.6.(2023北京卷15)设,函数,给出下列四个结论:在区间上单调递减;当时,存在最大值;设,则;设,若存在最小值,则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 .【分析】先分析图像,再逐一分析各结论;对于,取,结合图像即可判断;对于,分段讨论的取值范围,从而得以判断;对于,结合图像可知的范围;对于,取,结合图像可知此时存在最小值,从而得以判断.【解析】依题意,当时,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线;当时,易知其图像是,圆心为,半径为的圆在轴上方的图像(即半圆);当时,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;对于,取,则的图像如下, 显然,当,即时,在上单调递增,故错误;对于,当时,当时,;当时,显然取得最大值;当时,综上:取得最大值,故正确;对于,结合图像,易知在,且接近于处,的距离最小, 当时,当且接近于处,此时,故正确;对于,取,则的图像如下, 因为,结合图像可知,要使取得最小值,则点在上,点在,同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径,此时,因为的斜率为,则,故直线的方程为,联立,解得,则,显然在上,满足取得最小值,即也满足存在最小值,故的取值范围不仅仅是,故错误.故答案为:.【评注】本题解决的关键是分析得的图像,特别是当时,的图像为半圆,解决命题时,可取特殊值进行排除即可.第三节 幂函数1.(2023天津卷3)若,则的大小关系为()ABCD【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由在上单调递增,则,由在上单调递增,则.所以.故选D.第四节 指数与指数函数1.(2023天津卷3)若,则的大小关系为()ABCD【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由在上单调递增,则,由在上单调递增,则.所以.故选D.2.(2023全国甲卷文科11)已知函数.记, ,则 ( )A. B. C. D.【分析】利用作差法比较自变量的大小,再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令,则开口向下,对称轴为,因为,而,所以由二次函数性质知,因为,而,即,所以,综上,又为增函数,故,即.故选A.3.(2023新高考I卷4)设函数在区间单调递减,则的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】令,要使得在区间单调递减,需要满足在区间单调递减,所以,所以的取值范围是.故选D.4.(2023北京卷11)已知函数,则 .【分析】根据给定条件,把代入,利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数,所以.故答案为1.第五节 对数与对数函数1.(2023北京卷11)已知函数,则 .【分析】根据给定条件,把代入,利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数,所以.故答案为1.2.(2023新高考I卷10)噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为,则( )A. B.C.D.【解析】选项A,所以,所以A正确;选项B,所以,所以,故B错误;选项C,所以,所以,故C正确;选项D,所以,所以,故D正确.故选ACD.第六节 函数的图像及应用1.(2023全国甲卷理科10,文科12)已知为函数向左平移个单位所得函数,则与交点个数为( )A. B. C.3 D.4【解析】因为函数向左平移个单位可得而过与两点,分别作出与的图像如图所示,考虑,即处与的大小关系,结合图像可知有3个交点. 故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质,画出图像,不难得到答案.2.(2023北京卷15)设,函数,给出下列四个结论:在区间上单调递减;当时,存在最大值;设,则;设,若存在最小值,则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 .【分析】先分析图像,再逐一分析各结论;对于,取,结合图像即可判断;对于,分段讨论的取值范围,从而得以判断;对于,结合图像可知的范围;对于,取,结合图像可知此时存在最小值,从而得以判断.【解析】依题意,当时,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线;当时,易知其图像是,圆心为,半径为的圆在轴上方的图像(即半圆);当时,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;对于,取,则的图像如下, 显然,当,即时,在上单调递增,故错误;对于,当时,当时,;当时,显然取得最大值;当时,综上:取得最大值,故正确;对于,结合图像,易知在,且接近于处,的距离最小, 当时,当且接近于处,此时,故正确;对于,取,则的图像如下, 因为,结合图像可知,要使取得最小值,则点在上,点在,同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径,此时,因为的斜率为,则,故直线的方程为,联立,解得,则,显然在上,满足取得最小值,即也满足存在最小值,故的取值范围不仅仅是,故错误.故答案为:.【评注】本题解决的关键是分析得的图像,特别是当时,的图像为半圆,解决命题时,可取特殊值进行排除即可.3.(2023天津卷4)函数的图象如下图所示,则的解析式可能为()A B CD【分析】由图知函数为偶函数,先判断函数的奇偶性排除选项;再判断函数在上的函数符号排除选项,即得答案.【解析】由图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且,由,且定义域为,即A,B中函数为奇函数,排除选项A,B;当时,即C中上函数值为正,排除选项C;故选D.第七节 函数与方程1.(2023全国甲卷理科10,文科12)已知为函数向左平移个单位所得函数,则与交点个数为( )A. B. C.3 D.4【解析】因为函数向左平移个单位可得而过与两点,分别作出与的图像如图所示,考虑,即处与的大小关系,结合图像可知有3个交点. 故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质,画出图像,不难得到答案.2.(2023天津卷15)若函数有且仅有两个零点,则的取值范围为_【分析】根据绝对值的意义,去掉绝对值,求出零点,再根据根存在的条件即可判断的取值范围【解析】(1)当时,即,若时,此时成立;若时,或,若方程有一根为,则,即且;若方程有一根为,则,解得:且;若时,此时成立(2)当时,即,若时,显然不成立;若时,或,若方程有一根为,则,即;若方程有一根为,则,解得:;若时,显然不成立.综上,当时,零点为,;当时,零点为,;当时,只有一个零点;当时,零点为,;当时,只有一个零点;7当时,零点为,;当时,零点为所以,当函数有两个零点时,且故答案为:【评注】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值,求出方程的根,再根据根存在的条件求出对应的范围,然后根据范围讨论根(或零点)的个数,从而解出
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