3 3.3 3.1 1利用导数推断函数的单调性1.通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系.2.会利用导数求函数的单调区间,推断函数的单调性.用函数的导数推断函数单调性的法则设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,1.如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是增函数;2.如果在(a,b)内,f(x)0(或0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件,但并非必要条件.【做一做1】若函数y=f(x)的导函数f(x)在(a,b)上恒大于0,则函数y=f(x)在(a,b)上是函数.(填“增”或“减”)答案:增【做一做2】函数y=f(x)的导函数f(x)0在(1,2)上恒成立,则区间(1,2)是函数y=f(x)的单调递区间.(填“增”或“减”)答案:减利用求导的方法求函数的单调区间、推断函数的单调性需注意哪些问题?剖析:(1)在利用导数商量函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,在解决问题的过程中,只能在定义域内,通过商量导数的符号,来推断函数的单调区间.(2)在对函数划分区间时,除了必须注意确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不行导点.题型一题型二题型三函数的图象与导数的关系【例1】已知导函数f(x)的下列信息:当1x0;当x4或x1时,f(x)0;当x=4或x=1时,f(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致外形.分析:题中给出的信息是函数y=f(x)在实数集上的部分,依据导函数的正负,画出曲线的一个上升或下降的趋势即可.题型一题型二题型三解:当1x0,可知f(x)在区间(1,4)内是增函数,曲线应呈“上升”趋势;当x4或x1时,f(x)0,解得x1或x-1.因此,f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(1,+).令3(x+1)(x-1)0,解得-1x0,解得x0.因此,f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(0,+).令(ex-1)(x+1)0,解得-1x0和f(x)0;确定f(x)的单调区间.题型一题型二题型三 易错题型题型一题型二题型三题型一题型二题型三1函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为()A.(a,x1)B.(x2,b)C.(a,x1)(x2,b)D.(a,x1)和(x2,b)答案:D2在区间(a,b)内,f(x)0是f(x)在(a,b)内是减函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3函数f(x)=x3-3x2+9的单调递增区间为.答案:(-,0)和(2,+)4若函数f(x)=x3+ax2+4在区间(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为.解析:f(x)=3x2+2ax.由题意得3x2+2ax0在(0,2)内恒成立,所以a-3.当a=-3时,f(x)=x3-3x2+4满意题意,综上a的取值范围为(-,-3.答案:(-,-35函数f(x)=xln x的单调递减区间为.