第七章第七章不等式、推理与证明不等式、推理与证明-2-7 7.1 1二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题-4-知识梳理双基自测21自测点评1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.平面区域 不包括 包括 实线 相同 符号-5-知识梳理双基自测21自测点评(3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C0或Ax+By+C0时,区域为直线Ax+By+C=0的;当B(Ax+By+C)0表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方.()(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m1B.m1C.m1 答案 答案关闭D-10-知识梳理双基自测自测点评23415 答案 答案关闭A-11-知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭-12-知识梳理双基自测自测点评1.当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法表示平面上的一个区域.2.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,所以取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.3.求线性目标函数z=ax+by(ab0)的最值,当b0时,若直线过可行域且在y轴上截距最大,则z值最大;若在y轴上截距最小,则z值最小;当b0时,则相反.-13-考点1考点2考点3思考如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域?-14-考点1考点2考点3 答案:(1)C(2)D-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3解题心得确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应特殊点异侧的平面区域.(2)若不等式带等号,则边界为实线;若不等式不带等号,则边界为虚线.-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3(2)两条直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0.把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直线x-2y+2=0右下方所表示的二元一次不等式为x-2y+20,把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直线x+y-1=0右上方所表示的二元一次不等式为x+y-10,-20-考点1考点2考点3考向一求线性目标函数的最值思考怎样利用可行域求线性目标函数的最值?答案解析解析关闭 答案解析关闭-21-考点1考点2考点3考向二已知目标函数的最值求参数的取值A.-1,2B.-2,1C.-3,-2D.-3,1思考如何利用可行域及最优解求参数及其范围?答案解析解析关闭 答案解析关闭-22-考点1考点2考点3考向三求非线性目标函数的最值A.4B.9C.10 D.12思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?答案解析解析关闭 答案解析关闭-23-考点1考点2考点3解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3答案:(1)4(2)A(3)D(4)B-26-考点1考点2考点3由z=2x+y得y=-2x+z.由图可知当直线y=-2x+z经过点C时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.将C(2,0)代入目标函数z=2x+y,得z=22+0=4,即z=2x+y的最大值为4.-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点3(4)如图所示,不等式组表示的平面区域是ABC的内部(含边界),x2+y2表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是1,4.-30-考点1考点2考点3例5(2016全国乙卷,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.思考求解线性规划的实际问题要注意什么?答案:216 000-31-考点1考点2考点3-32-考点1考点2考点3-33-考点1考点2考点3解题心得求解线性规划的实际问题要注意两点:(1)设出未知数x,y,并写出问题中的约束条件和目标函数,注意约束条件中的不等式是否含有等号;(2)判断所设未知数x,y的取值范围,分析x,y是否为整数、非负数等.-34-考点1考点2考点3对点训练对点训练3某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,那么该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元 答案解析解析关闭 答案解析关闭-35-考点1考点2考点3线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.