绝密启用前2021届山西省高三二模数学(理)试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知集合4 =卜 2固 2 0 ,B=%|X2-X-2 0 ,则403=()A.0 B.-1,0,1 C x|-lx2 D.x-2 x2 答案：B先求出集合儿6,再求两集合的交集即可解：由国一2 0,得 2 x 2,所以A=xw Z|x|-2 0 =-1,0,1 ,由 丁一工一2 0,W-l x 2,所以 B=X|X2-X-2WO=H_IXW2,所以 4n B=1,(),1 ,故选：B2.已知i为虚数单位，复数z满 足 近=2 +及 则忖=()A.y2 B.V 6 C.2 D.4答案：B先根据复数除法运算求出z ,即可求出模.解：z i =2 +0i，故选：B.2 f,1 33.已知&=1 gi T,卢，贝I()Ct 一乙 41 C 一3 PA.h a c B.b c a C.c a b D.c h a答案：C利用事的运算将，。进行转化，比较分母的大小即可得出两者的大小关系，再将。，b,。分别与1比较大小，即可得出结果.二 J 1解：0 a =2 3=3/71 0 g,-=1,4 5 3N 1 10 c =3 2=一?二.1310而 延 y/rj，c a 0八,cosA.八0,be cos A 3 cos A 3因为sin?A+cos2 A=1，4 3解得s i n A =g,c os A =g,所以c =5,所以由余弦定理得c os A =b-”=b-+c-a-=2 ,2 bc 1 0 5所以。2=从+。2一6,因为+c 2 2 2 6 c =1 0，当且仅当匕=c =旧 时，取等号，所以。2 =/+。2 6 2 1 0 6 =4，所以。的最小值为2,无最大值，即8 c的最小值为2,无最大值，故选：D8.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理“）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角夕为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积5与大正方形面积邑之比为1:2 5,则c os|a +)。-噜答案：D如 图。由 题 意 得D E =D C c o s a =E C-E H=D C s ma-D C ,从 而 可 得1 2 4s i n a-c os a=，给 等 式 两 边 平 方 化 简 后 得2 s i n a c os a=,从而可求出5 2 57工s i n a 4-c os or =,而(3万、3万.3万 J 2 一c os c?+J =co s co s-s i n crs i n =(s i n rz+co s e z),进而可求得答案解：由题意得。=5 ”，因为C E =O C s i n a,D E =D C c o s a =E C-E H=D C s i n a-D C ,5所以s i n a-co s a =，贝！J l-2s i n a co s a =5 2524所以 2s i n a co s a =一25249所以(s i n a +co s a)=l +2s i n o co s a =717因为二(0,一),所以s i n c+co s a =一2 5所以co s a +34 31 .3万=co s a co s-s i n a s i n 4 4-*(s i n a +co s a)V 2 7 772=-X-=-2 5 1 0故选：D9.已知尸为双曲线C：三 六=l(a 0,b 0)的右焦点，以点尸为圆心,为半(径的圆与双曲线的渐近线相切于点尸号/,则双曲线C的离心率为(5?A.B.此2C.2D.332答案：B根据直角 O P F的面积，建立方程,求解即可得出双曲线离心率.解：设P逑、2,t在双曲线0a7b=l(a 0,/?0)的渐近线丁=x 上,则i.W L幽a 5 5aF为右焦点，则尸(c,0),由条件知，以F为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线y=相切于尸点,TT则|P/n=l且N O P F =,O P E为直角三角形2h,“，bc be ,又 F(c,0)到 y=-x 的距离为I P F -d=/?=,则有I P用=。=1,R t/O P F 的面积为 S-P F-0 p|=L j|0尸|2_|尸用2 =1.衣2_ =L,2 2 2 24 后 2 加be 2 y/5c所以 5 Y =5(c2 )=5(c2-1)=4 6 c n 5 c2-4 辰-5 =0,解得,=6或。=一避 (舍去)，所以 a =J c2 b2=V 5 1 =2 e-=，a 2故选：B点评：关键点点睛：在 O P F中，根据切线的性质及焦点到直线的距离可求出b,再根据 O P F的面积建立方程是解题的关键，属于中档题.A.1 B.32 C.192 D.252答案：D化简为1 2+二 ,根据组合的知识，可 以5个括号取1个提供、石,剩 余4个选一个提供=，其余的提供2,也可以5个括号取2个 提 供 五，剩余3个选2个提供一尸，其余提供2,也可以5个括号都提供2,相加即可求解.利用组合数计算,即为 23 GC(6)()+2C；C；()2 G)+G=2 52,故选：D1 1.在 A5c中，内角4 5。所对的边分别为a,b,c,2 sin C=a+b+i +2a b,a+b则 ABC外接圆面积的最小值为()717171A.-B.-C.-D.K8 4 2答案：Ajr由已知结合s i n C S l可得。+力=1,s i n C =l,即。=一,可得直角三角形外接圆的2半径为,根据圆的面积公式和不等式知识可求得结果.2解：-/2s i n C =-2,所以(。+1)?W 0,所以a+b此时2s i n C =+)！=2,s i n C =l,a+b71因为o c -=-=44 4 2 4 2 4 2 8当且仅当a =L时，等号成立.271.1 A B C外接圆面积的最小值为8故选：A点评：关键点点睛：由已知结合s i n C V l推出。+力=1和AABC为直角三角形是解题关键.1 2.已知函数/(x)=e*T-l n x-o x+a(a e R),当x e l,+8)时，若/(x)N l恒成立，则。的取值范围为()A.(-00,0 B.(-o o,0)C.(-1,0 D.0,+o o)答案：A求函数导数后可知导函数为1,+8)上的增函数，根据a 分类讨论，求/(的最小值即可求解.解：./(X)=exx-n x-a x+a a e /?),/.fr(x)-exx-a ,x当x w l,+8)时，r(x)=TL a单调递增，ru)m i n=/,a)=-.(1)若a 4 0 时，f(x)0,所以f (x)在 x e l,+8)时单调递增，/(x)/(1)=1 恒成立,(2)若a 0 时，/(1)=-a 1,使得/(尤()=0,故 x e l,X o)时，f x)0,所以/(x)在 x e l,x()时单调递减，所 以/岛)1 使得/(%)1,所以。0 时不满足题意.综上，a 01 3.已知不等式组,2 x-y W 0 表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值k x-y+2 0范围是.答案：(一1,2)先画可行域结合图形可得答案.x+y-2 0解：画可行域 0直线 一 y+2 =0与y轴的交点为（0,2）,要使平面区域是一个三角形区域，由图得左e（1,2）.故答案为：（一1,2）.1 4.若曲线y=l n（3 x-8）与曲线y=d-3x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为.答案：y=3x-9设公共点为（毛,%），根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.解：设公共点为（%,%）,Q3由 y=l n（3 x-8）,（%-）,则了=2,3 3 x 8y=x2-3 x,则 y =2 x-3,3所 以 广 =2玉）-8,解得%=3,J XQ-O所以为=o,=3,I，-而 9 8所以切线的方程为 一0 =3（%-3）,即 y=3x-9.故答案为：y=3x-915.在 锐 角AA B C中，。为B C的 中 点，AB=3,A C =近，且B Csin Bcos C+ABsin Bcos A =A C 则 AD=.2答案：不由题设条件和正弦定理，以及三角恒等变换的公式，化简得sin8=1 g，得到5=工，2 3在AABC中，由余弦定理求得BC=2或8 c=1,进而结合余弦定理求得的长.也解：由 6csin 8cosC+ABsin Bcos A=A C，2由正弦定理可得的 sin Asin BcosC+sin Csin Bcos A=sin B 2n因为 B e（O,乃），可得 sin8（）,所以 sin Acos C+sin Ceos A=2即5皿（4+0 =$1118=半，所以 6=5，在 ABC中，由余弦定理可得AC?=A52+BC2-2A B.8CCOS6，即 5。2一38。+2=0，解得 BC=2或 8C=1,H-c B C2+A C2-A B2-1 八当 3 c=1 时，此时 cos C =-=-产 =J7.故答案为：、万.16.欲将一底面半径为阮m,体积为3%cn?的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为cm3，根据轴截面图，求出球的半径，圆柱的高及底面半径，得到组合体的体积公式，利用导数求最值即可.解：设球体半径为r,圆锥高为由圆锥底面半径为e c m，体积为3万c m3,所以x3%/=3万，解得 =3,3所以A F G为等边三角形，所以可得 FH=&r,DE=,BE=V3 /3 r；.EF=C B E =3-3 r，圆柱体与球体体积之和V=乃 (6 r)2 .(3-3 r)+：万，,4?3化简得V=9万，(1 -r)+7rr3=-%/+9万产，/3 3V=-2 3万/+1 8”(0 r l),1 Q由v，=o时，解得厂=一2 31 Q0 r 0,2 3,1 8 .97 2万/一 天 时，m ax-5 2 997 2万1 8r 时,2 3cm3,故答案为:5 2 9V 22,再利用错位相减法求和即可；解：(1)设公差为d,则d0,；%+%+%=9，3%=9,a2=3,又.利是%与%+4的等比中项，二=。(。3+4)，解得4=2或d=-6(舍去).，a”=4 +2(-2)=2-1.(2)由(1)得2=。J2册+|=(2-1)-22”,故其前几项和5“=1x4+3x42+5x4+(2-341+(2-1)-4,则4s“=1X42+3X43+5X44+-+(2-3 4 +(2”-1 4|,由 得-3S“=4+2x4?+2x4+2x4”-(2-1)4|,点评：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=2,四边形ABC。为菱形，且 Zfi4D=60。.（1）证明：8 0,平面P4C；（2）求二面角3-PC-。的大小.答案：（1）证明见解析；（2）90.（1）由四边形ABC。为菱形可得AC _LBD；设AC与5 0交于点E,连接P E,易证P尸，BD，由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，代入公式求解.解：（1）证明：（法一）.四边形ABCD为菱形，则ACL8O.设AC与6。交于点尸，连接 尸，如图 1 所示，：PD=PB,PF 上BD.又；PFcAC=F,P E u平面PAC,ACu平面尸AC,二 801.平面PAC.（法二）由题可知8D=2,因此三棱锥P A3。是棱长为2的正四面体.设AC交于尸，取AE的三等分点。且4 9 =209，如 图1所示，连接P 0,则尸0_L平面ABCO.因此P O L B O,又.四边形A8CO为