上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟数学试题一、填空题1 .已知集合4 =卜 k 2+_ 2 =0 ,8 =卜 加+1 =0 ,若 B A,则实数a 的取值组成的集合是2 .复数z 在复平面内对应的点为（-1,2）,则9=.Z3.已知直线 4：ar +（a_l）y +3=O,/2：2 x+ay _l=O,则实数 a 的值是.4 .已知数列%为首项为2,公差为2的等差数列，设数列 4 的前项和为黑，则 翦 =5 .在2 成的展开式中，/的系数为.6 .已知函数/（x）=2 -x-l,则不等式/。）0的解集是.7 .已 知 向 量 满 足|5|=2，。与5的夹角为6 0。，则当实数4变化时，历-入源的最小值为8 .已知F 为双曲线C：，-太=1（“0,方 0）的右焦点，A为双曲线C上一点，直 线 犬 轴，与双曲线C的一条渐近线交于B,若|4 B|=|A F|,则 C的离心率0=.9 .已知a,夕且 独 =s i n（a+4），则t an a的最大值为_I 2 J s i n 夕1 0 .将 1,2,3,4,5,6,7,8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2,则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）1 1 .若P、Q、R是棱长为1 的正四面体棱上互不相同的三点，则 P0QR的 取 值 范 围 是.二、双空题1 2 .已知，a,b 三R,函 数/（司=产-4 公+3万 1+冰（4 若不等式|/（力之版+可对于任意实数才恒成立，则 时 的 最 小 值 是,最大值是.三、单选题1 3.已知a,夕是两个不重合的平面，直线/J La,则“/”是“a,4”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件1 4 .已知x,y e R,且x y0,贝 ljB.s i n x-s i n y 0c.(夕 一 夕 01 5.记S,为数列%的前项和.若a.=(8-)(=1,2,.),则()A.q 有最大项，S.有最大项 B.C 有最大项，4 有最小项C.有最小项，S J 有最大项 D.为 有最小项，5.有最小项1 6.如 图，棱长为1 的正方体ABS-AAG R中，尸 为线段A8上的动点(不含端点)，则下列结论正确的个数是()平面。弓尸，平面A A P NAPA的取值范围是(0 段三棱锥4 -D、P C的体积为定值 D CtDtPA.1 B.2 C.3 D.4四、解答题1 7 .已知角a 的顶点与原点。重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P,且点尸在圆C：(x+3)2+(y-4)2=1 上.(I)若尸点的横坐标为-3,求s in 2 a 的值；(2)若角夕满足s in(a +6)=-g,求s in 的最大值.1 8.如图，在四棱台 A B C D-E F G“中，A F =BF ,C D =2 G H ,EF V E H.B C(1)证明：A B 1 D H；(2)若AB=A E=E H =H D,求直线A F 与平面A E W E 所成角的正弦值.1 9 .已知数列%满足：a=a2=2,all+l=+2L,-2).证明：an,eN*;I 1 1 s(2)证明：+1 0,/2e N*.q a2 a2 0 .己知直线/1：y =x 及直线，2：y =-x.平面上动点M（x,y）,且记M 到直线4、4的距离2分别为4、d2,满足：0）.（i）求动点 的轨迹r的方程；（2）若直线/的方向向量为（1,2）,过（缶,0）的直线/与曲线r交于A、B两点，问以A8 为直径的圆是否恰过原点。？若是，求“的值；若不是，判断原点在圆内还是圆外，并说明理由？（3）若过原点。作斜率为我的直线交曲线于M、N 两点，设P（0,l）,求APMN的面积S 关于火的函数解析式，并求S 的取值范围.2 1.已知函数 x）=e*（l+/n l n x）,其中加0,广 为 的 导 函 数.当=1,求在点。，/）处的切线方程；设函数（、）=/单，且 M x）:恒成立.e2求加的取值范围；设函数/（X）的零点为七,/（X）的极小值点为X 1 ,求证：X（）X,.参考答案:1.卜叫先确定集合A中的元素，然后结合子集的概念，分 B =0,两种情况讨论即可得出结果.解：集合 4 =小 2+*_ 2 =。=_ 2,1 ,8=麻+1 =0 ,当3 =0,即。=0 时，显然满足条件5gA；当时，即4 片0,则2 =；卜因为8=所以8=-2 或 8=1 ,即一,=一2 或一 1=1,解得=!或。=一1,aa2综上，实数a的取值组成的集合是故答案为：2.-l-2 i#-2 i-l由复数对应的点写出复数z ,再应用复数除法的法则求解即可.解：对应的点为(-1,2),z =-l+2 i,.5=5 5(-1-2 i)5(-l-2 i)=i 2 i*7 -l+2 i-(-l +2 i)(-l-2 i)-5 一 一 一 乙故答案为：-l-2 i.3.a=0 或=1根据向量垂直列方程，化简求得。的值.解：由题意可知4 /2，故2。+。(。-1)=0,即/+=0解得a =0 或。=-1.故答案为：=0 或。=一14.2 0 2 4根据等差数列的前项和公式求得S,，进 而 求 得 盖.解：依题意 s,=4 +”；D d-2 n +n(n-l)=n(n+l),所 以 纭=2 0 2 3(2 0 2 3 +1)=2 0 2 4.2 0 2 3 2 0 2 3故答案为：2 0 2 4.5.-10首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定Y的系数即可.解：(五-2)展开式的通项公式为：&=G(石 厂(_ 2 y=(_ 2)y 者,5 r令 三=2 可得：r =l,则/的系数为：(_ 2)C；=(2)x 5 =10.故答案为：-106.(-0 0,0)0(1,+00)由/.（x）0 得2、x+l,作出y =2*和 y =x+l 的图像,结合图像求得不等式力0的解集.解：因为/（x）=2 -x-【，所以/。）0 等价于2、x+l,在同一直角坐标系中作出y =2 和 y =x+l 的图像如图:两函数图像的交点坐标为（0 ）,（1,2）,由图可知：当x 0 或x l 时，2*x+l 成立，所以不等式/。）（）的解集为：（3,0）=（1,内）.故答案为：（Y,0）5 L+0.7.G建立平面直角坐标系，根据向量减法的模的几何意义求得最小值.解：如图，设 函=昆 丽=5,当（B-瓶），万时，|在-而|取得最小值，过 B 作B E，Q 4,即|5-%万|取得最小值为RE,因为与5的夹角为6 0。，所以 ZBOA=6 0 ,Z B E O =90 ,|O B 卜 2 ,所以|8E|=V 3.故答案为：G8.#-7 33 3将 x=。分别代入双曲线方程和渐近线方程求得|AF|,怛目，由题意|M|=21 ,由此求得c=2 a=6b,从而得离心率.解：由题意得尸9,0),双曲线的渐近线方程为=2-a由双曲线的对称性，不妨设A,B均为第一象限点，1*2 ；2 L.2 1/1将x=c 代入双曲线方程二 =1,得:_ 1=i,得 尸 幺，所以|4日=幺，a*2 b2 a2 b2 a a2c o s a-c o s(2 夕 +a)-,2所以2 皿1=(：0 0 85(2 夕 +2),贝 i j c o s(2 夕+a)=c o s a-2 s i n a ,印、/。.、2/i 刖 c o s 2 a+4 s i n 2 a-4 s i n a c o s a ,所以(c o s a-2 s i n a)l,即-I,s i n-a +c o s aHn1 +4 t a n2-4 t a n ,目”2 ,八即-z-1,即3 t a n a-4 t a n a-QP Q=-1,当且仅当。与点8或C重合，P、R重合于点A或点O时,等号成立，但P、Q、R为不同的三点，则 而.诙-1,由上可知|所|的最大值为1,取线段总的中点M,则 炉 砺=（西 +珂（西-丽）=|刎2 T研当且仅当线段依 与棱A 8重合且。为棱4 3的中点时，等号成立，则 苑 宓4 9.4综上所述，-P Q Q R 麻+4恒成立的充要条件是I/斗力+可|/（3乃）,|3初+闿化简得到一组关于的二元一次方程，在平面直角坐标系中作出该方程组表示的平面区域，再数形结合即可求解如图所示，在同一直角坐标系中作出y=|/(x)|和y=|or+W的图象，则|/(x)|21+4恒成立的充要条件是f)a7T+b/(3叫2|3初+可即，7T 汽 a7r+b3初+4即-7va7r+h7i-7T 3a7T+b7T作图如下Z Z 7设2 =成，则人=三,当曲线b=W过。（或 8）时，z 取得最小值；当曲线6 =三 与直线8 c 相切时,a a az 取得最大值3a/r+b=一汽aTT+b=冗由所以Z m i n=ah=一 2 43a 冗+b=jv由3TVCT-7ra+z=0b=、a令 =(),解之得z弋jr，即Zm,瑞Jr故答案为：-2 万,1 3.A根据充分条件、必要条件的定义及线面关系、面面关系的性质定理及判定定理判断可得：解：解：因为d夕是两个不重合的平面，直线/_ L e,若/，则存在直线a u,满足/，因为/la,所以a，a,所以a，#,故充分性成立；若/_ L a,则/u 尸，或/?，故必要性不成立；所以“/6”是“a _L 4”的充分不必要条件；故选：A1 4.C1 1解：试题分析：A：由”了 ,得x y,即x y,A不正确；B：由x y 及正弦函数的单调性，可知5b不一定成立；c：由 y。,得 卬“（7,故 卬 一（羲）y 0,得 盯 0,但x y的值不一定大于1,故l nx+l ny=l n个 。不一定成立，故选C.【考点】函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：（1）常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数：一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.1 5.A根据题意，结合二次函数的性质分析伍，的最大项，再 分 析 的 符 号，据此分析可得 S J的最大项，即可得答案.解：解：根据题意，数列 J,an=n（8-n）=8 n-n2,对于二次函数，y=-f+8 x,其开口向下，对称轴为x=4,即当x=4时，y=-x?+8 x取得最大值，对于 =4时,最 大；且当L,0,当=8时，a =0,当8时，0,故当=7或8时，S“最大，故“有最大项，5/有最大项;故选：A .1 6.C根据线面位置关系进行判断.判断，举反例判断，利用体积公式，判断，利用垂直关系的转化判断.解：R A，平面A 4.P，平面RAP，平面44P，正确:若 是 AB上靠近A的一个四等分点,D.P2=1 +9此时A P2=A 412+y4,P2-2 A 41x AtP x co s 4 5 =-,D,P2+A P 2,因为在四棱台ABCD-EFGH中，CD=2GH所以 比 二 用 二 必，在AR4f 中，E 为 必 中 点，故上因为 ABEF,E F LE H,所以因为 A P n E =E,所 以 平 面 PAQ,所以得证.(2)解：设 钻=越=2.则 所=g A B =l.由于A B 上平面PAO,则尸EJ _ 平面P A D,所以，直线 与平面皿7 E所成角即4 4 E.因为在四棱台 488-EF G“中，C D =2 G H ,PF=FB=FA,所以E 为 P 4 中点，所 以 防 _ L A E,EFEF则 s i n N E4 E=J=.AF yjAE2+E F25即直线A 尸与平面A O H E 所成角的正弦值为4.1 9.(1)证明见解析(2)证明见解析(1)验证鹿=1、2、3 时，a n,然后假设当=火(2 3)时，ak k,证明出依旧人+1,结合数学归纳法可证得结论成立；(2)先利用数学归纳法证明出4；木(n +1),然后利用放缩法结合裂项求和法可证得结论成立.解：(1)证明：对任意