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2022年河南省焦作市高考文科数学一模试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5 分)己知集合 4=0,1,2,B=x|-2x2,x G Z,则 A U B=()A.0,1 B.-1,0,1)C.-1,0,1,2 D.-2,-1,0,1,22.(5 分)已知复数z 满足2 z i=l+3 i,则 z 的虚部为()3 1 1 3A.-B.C.弓 D.一 弓2 2 2 23.(5 分)已知命题p:3AGN*,lgx b 0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为尸,。为坐a b标原点,若|FO|,|OB|成等比数列,则 C 的离心率为()0)的一个极值点为1,则a?廿的最大值为()4 9 16 81A.-B一 C.D.9 4 81 1611 1.(5分)已知数列 的前项和又=(一1)%+向SEN*),则S i oo=()1 1 1A.-i T T n B.0 C.21-0 0n D.21 0 11 2.(5分)如图,在正四面体A B C。中,E是棱4 c的中点,尸在棱8 D上,且则异面直线E尸与A B所成的角的余弦值为()二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.1 3.(5 分)己知向量a=(x,-1),b=(0,5),若a_L(a+2b),贝!|x=.1 4.(5分)写出一个离心率与双曲线C:产-嚓=1的离心率互为倒数的椭圆的标准方程.1 5.(5 分)已知ae,分 且4c o s a t a n g a)=次,则 a=.1 6.(5分)已知三棱锥尸-48 C的每条侧棱与它所对的底面边长相等,且P A =3&,PB=第2页 共2 0页P C=5,则该三棱锥的外接球的表面积为_ _ _ _ _ _ _.三、解答题:共 7 0 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第172 1 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60分.17.(12分)某校举办歌唱比赛,AG七名评委对甲、乙两名选手打分如表所示:评委 A BC D E FG选手甲 91 9496 92 93 9795选手乙 92 9590 96 94 91a(1)若甲和乙所得的平均分相等,求“的值;(2)在(1)的条件下,从七名评委中任选一人,求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率;(3)若甲和乙所得分数的方差相等,写出一个。的值(直接写出结果,不必说明理由).18.(12 分)在锐角ABC 中,B=60,AB=3,AC=巾.第3页 共2 0页(1)求AABC的面积;(2)延长边 8 c 到。,使得 8=42C,求 sinNADB.19.(12分)如 图,四棱锥尸-A8CD的底面A8CQ是平行四边形,用,底面ABCQ,PA=第 4 页 共 2 0 页A D=4,ZBA D=120 ,平行四边形ABC。的面积为4次,设 E 是侧棱PC上一动点.(1)求证:C D 1 A E;(2)当 E 是棱PC的中点时,求点C 到平面4BE的距离.20.(12 分)己知函数/(x)=-&Unx+),依R.第5页 共2 0页(1)若x另 是/(x)的极值点,求曲线y=f(x)在(1,/)处的切线方程;(2)证明:当 髭(0,e)时,/(x)0.2 1.(1 2 分)已知抛物线:x1=2py(/?0)的焦点F 与双曲线2 -2/=1的一个焦点重第6页 共2 0页口 (1)求抛物线的方程;(2)过点尸作斜率不为0 的直线/交抛物线r 于 A,C 两点,过 4,C 作/的垂线分别与y 轴交于8,D,求四边形A8CO面积的最小值.(二)选考题:共 10分.请考生在第22,2 3 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第7页 共2 0页第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线/的参数方程是;二t C为参数)以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆。的极坐标方程为p2-8=2p(cos0+sin。).(1)求直线/的普通方程和圆。的直角坐标方程;(2)当O e g,兀 时,求直线/与圆O 的公共点的极坐标.选修4-5:不等式选讲第 8 页 共 2 0 页2 3.设函数/(x)=3x-6|+2|x+l|-m(m GR).(1)当机=2时,解不等式/(x)1 2;(2)若关于x的不等式/.(x)+|x+l|W O 无解,求机的取值范围.第9页 共2 0页2022年河南省焦作市高考文科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5 分)已知集合A=0,1,2),8=x|-2V x 2,x Z|,则 A UB=()A.0,1 B.-1,0,1)C.-1,0,1,2 D.-2,-1,0,1,2解:4=0,1,2,B=-1,0,1 ,,A U B=-1,0,1,2.故选:C.2.(5 分)已知复数z 满足2z i=l+3i,则 z 的虚部为()3 1 i 3A.-B.-C.-4 D.-52 2 2 2解:;2z i=l+3i,.l+3i(l+3t)i 3 1 .2i 2i2 2 21;.Z的虚部为一.故选:C.3.(5 分)已知命题p:Sx eN*,lgx0,q:VxeR,cos x Wl,则下列命题是真命题的是()A.p/q B.(-/?)/q C.p/L q)D.-1(p V q)解:由/g x V O,得 0 cx V I,故命题p:/g x 0,“7)另 一 那 。,/(-2)=1-1 =_ b 0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,O 为坐标原点,若依用,尸。|,|。8|成等比数列,则 C 的离心率为()第1 1页 共2 0页V 5A.一5VT6B.4c.6-12V 5-1D.-2解:由题意知,A F=a-cf FO=c,OB=af因为FOf|O 3|成等比数列,所以 c2=(a -c)ac-a c,即 c2-a2+ac=09所 以(-)2-1 +-=0,即 e2-l+e=0,a a解得e=美立(舍负),所以e=%I故选:D.8.(5 分)已知函数f(x)=仞(鲁+a)是奇函数,则使得0/(x)1的 x的取值范围是)A.(-co,一 冷B.(0,言)C.(一4,。)D.(一白,0)U 鼎,1)解:因为函数/(x)=匈(磊 +a)是奇函数,所以7(0)=/g (2+4)=0,即 2+4=1,解得 Q=-l,2所以/(1)=ig-1),27因为 ov/(x)1,所以 O V/g (-1)0 f2x(x +l)0,等价于 ,-4y-1 1 0%+1Q解得一TT故选:C.9.(5 分)花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构,这是中国古代建筑中常见的美化形式,既具备实用功能,又带有装饰效果.如图所示是一 个花窗图案,大圆为两个等腰直角三角形的外接圆,阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆.若在大圆内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为()第1 2页 共2 0页A.V 2-1B.2-V2c.3-2 V 2D.6-4 V 2解:设大圆的半径为七则等腰直角三角形的边长分别为2 R,五 R,近 R,设等腰直角三角形的内切圆的半径为r,则工(2 R+V2 R+V2/?)r=1 X V2/?x /2R,2 2解得 r=(V 2-1)R,则阴影部分的面积为2Xn Xa=2m(V 2-1)/?产=2(3 -2 V2 )nW,大圆的面积为豆炉,则该点取自阴影部分的概率为P=2(3-2伙评=6 一人故选:D.1 0.(5 分)已知函数/(%)=-*+*/+b x(a,b 0)的一个极值点为1,则 a2 b 2 的最大值为()4 9 1 6 8 1A.-B.-C.-D.一9 4 8 1 1 6解:由f(%)=%3+恭 2 +.,则 f(x)=-3 7+0+6,由题意可知,/(1)=0,即 a+b=3,0,Z?0,所以a?炉 工(竽)4 =翳 当且仅当a=b =|时取等号,0-1所以/户的最大值7 7,1 6故选:D.1 1.(5 分)已知数列仅 的前 项和%=(-1 严 即+算(n e N*),则 S o o=()1 1 1A-酒 B.0 C.-D,解:当=1 时、%=Si=-&+/,所以的=/;当 心 2 时,Sn=(-l)n(Sn-Sn_ i)+苏;1当 n=2k(k W N+)时,S 2k=S 2k 2k-l+2 2 k,第1 3页 共2 0页当 =2 k -1 (依N+)时,S2-1 =-S 2k-l+s2k_2+求故5 2/1-2 -2 s 2 k-l 2 2/t-l 0 所以 Sioo=0,故选:B.1 2.(5分)如图,在正四面体A B C。中,E是棱A C的中点则异面直线E尸与A B所成的角的余弦值为()CV3 V2 1A.B.C.一3 2 2A ZAX解:设A B=4,建立如图所示的空间直角坐标系,则 F(0,1,0),B(0,-2,0),C(2 V3,0,0),A276-),3,l 2V3 4V6 f 473 276则84=(,2,),FE =(,-1,),3 3 3 3设 最,0的夹角为仇-1,,尸在棱8。上,且8 0=4 b D,1D.-32A/3 4V6 473(-,0,-),E (-,03 3 3第1 4页 共2 0页则异面直线E 尸与AB所成的角的余弦值为去故选:C.二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分.1 3.(5 分)已知向量2 =(%,-1),b =(0,5),若:J,G+2 b),则 x=3解:.向量展=(%,1),b =(0,5),a 1 (a 4-2 b),,a(Q+2 b)=a?+2Q b =/+l+2 (0-5)=0,则 x=3,故答案为:3.1 4.(5分)写出一个离心率与双曲线C;X 2 一*=i的离心率互为倒数的椭圆的标准方程x2 y2+=1 (答案不唯一).4 3 -解:双曲线C:/一 4=1的离心率为0 =年1 =2,则椭圆的离心率为上3 1 2所以椭圆的标准方程可以为x二2 +Jy2=L4 3X2 V2故答案为:+=1 (答案不唯一).4 35 T C1 5 .(5 分)已知a w。,刍,SAcosa-tan(-a)=V 3,则。=_ 茄 _.解:*,4cos(x a)=Y/3J cc G(4,2),M e s a-懿=百,A 4 s inacos a-cos a=V3 s ina,V3 1 、/.2 s in2 a=2 (s ina+2 cos a),7 T、/.s in2 a=s in(a+&),:.2a=a+看或 2 a+a+看=n,a=(舍)或 a=瑞,5 7 r故答案为:181 6 .(5分)已知三棱锥尸的每条侧棱与它所对的底面边长相等,且2 4 =3/,PB=P C=5,则该三棱锥的外接球的表面积为 3 4 n第1 5页 共2 0页解:根据题意,三棱锥P-A B C可以嵌入一个长方体内,且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线,设长方体交于一个顶点的三条棱长为a,b,c,如图所示,则/+房=%2=8,a2+c2PB2=25,b2+c2PC22 5,解得 a=3,b3,c4.所以该三棱锥的外接球的半径为R=卜+尸2=柠+?+心=学,所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4兀/?2 =47 rx(学 产=347r.故答案为:347r.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)某校举办歌唱比赛,4G七名评委对甲、乙两名选手打分如表所示:评委ABCDEFG选手甲91949692939795选手乙929590969491a(1)若甲和乙所得的平均分相等,求。的值;(2)在(1)的条件下,从七名评委中任选一人,求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率;(3)若甲和乙所得分数的方差相等,写出一个”的值(直接写出结果
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