2023年新课标全国I卷数学真题学校:姓名：班级:考号：一、单选题1.已知集合 河=-2,1,0,1,2,N =xx2-x-6 0),则 McN =()A.-2,-1,0,1 B.0,1,2c.-2D.22.已知 z ,贝i J z z=()2+2iA.-i B.ic.0D.13.已知向量a=(l 1),6=(l,-l),若(a+/U)_L (a+，贝！j ()A.几 +=1B.4+=1C.办=1D.=14.设函数x）=2）在区间（0,1）上单调递减,则。的取值范围是（）A.B.-2,0)C.(0,2D.2,+oo)2 25.设椭圆 G：+y 2=l(al),C,:二+y 2=a 4=1的离心率分别为“建?.若 02=g q()A.巫 B.应C.D.瓜6.过点（0,2）与圆x 2+y 2-4x-I=0相切的两条直线的夹角为a,则s i n a=（）A.1 B.叵 C.叵 D.4 4 4c7.记鼠为数列%的前项和，设甲：见 为等差数列；乙：、为等差数列，则（）nA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8 .已知si n（a-夕）=,c osasi n =L 则8s（2 +2 ）=（）.二、多选题9.有一组样本数据为,当,飞,其中演是最小值，%是最大值，则（）A.与不田,毛的平均数等于%,林，%的平均数B.刍,毛,汽,用的中位数等于士,尤6的中位数C.,如匕，%的标准差不小于司，工2、%的标准差D.X?,X j,%,工5的极差不大于X|，*2,，*6的极差10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级）=20 x l g上，其中常数为（为 0）是听觉下限阈值，P 是实际声压.下表为不同声源Po的声压级:声源与声源的距离/m声压级/d B燃油汽车1060 9 0混合动力汽车1050 60电动汽车1040己知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为P i，P 2，P 3,则（）.A.P；，2 B.2 1 0 3C.P 3 =1。0 0 D.P l w 100p211.已知函数 X）的定义域为R,孙）=弘/（力+/（力，则（）.A./（0）=0 B./（1）=0C./（x）是偶函数 D.x =0 为/（x）的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1 （单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.9 9 m 的球体B.所有棱长均为1.4 m 的四面体C.底面直径为0.0 1m,高为1.8 m 的圆柱体D.底面直径为1.2 m,高为0.0 1m 的圆柱体试卷第2页，共 4页三、填空题13 .某学校开设了 4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修I门，则不同的选课方案共有 种(用数字作答).14 .在正四棱台A B C。-4用6。中，A B =2,A旦=1,4 4,=友，则该棱台的体积为15 .已知函数 x)=c o s 5-1 3 0)在区间 0,2 可有且仅有3个零点，则。的取值范围是.2 216 .已知双曲线。：-2=1(“0,。0)的左、右焦点分别为耳,K.点 A在 C上，点 B 在cr b2y 轴上，FlA LFlB,F2A=-F2B,则C的离心率为.四、解答题17.已知在 中，A +B =3 C,2 s in(A-C)=s inB .(1)求 s inA ；(2)设A 3 =5,求 A 3 边上的高.18 .如图，在正四棱柱4 8 c o-486。中，/13 =2,4 4=4.点4，员,。2,2 分别在棱A A j,B B 1,C C,D D 上,AA=1,B B2=D D2=2,C C2=3 .证明：B2C2/D2.点 P 在棱B B l上,当二面角为一 4c 2-。2 为15 0。时,求 8 2 P.19 .已知函数f(x)=a(e +a)-x.(1)讨论/(x)的单调性；(2)证明：当。0 时，/(x)21na+-.220.设等差数列%的公差为d,且d l.令“,=3.,记 5,工分别为数列 q ,。的前项和.若 3a2=3q+%,$3+4=21,求 ,的通项公式；(2)若 篮 为等差数列,且为 F=9 9,求d.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1 次投篮的人选，第 1次投篮的人是甲、乙的概率各为0 5(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；(2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量X,.服从两点分布，且尸(X,=l)=l-P(X,=0)=分i=l,2,则E住，记 前“次(即从第1 次到第次投篮)中甲投篮的次数为乙 求双丫).22.在直角坐标系xOy中，点 P 到X轴 的 距 离 等 于 点 尸 到 点 的 距 离，记动点P 的轨迹为W.求 W 的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCQ的周长大于3 6.试卷第4 页，共 4 页参考答案：1.C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.【详解】方法一:因为=5,7-6 训=(-叫-2 3 3，+8)，而 加=-2,-1,0,1,2,所以 A/cN=-2.故选：C.方法二：因为M=-2,-1,0,1,2,将 2,1,0,1,2代入不等式W x 6 2 0,只有 2 使不等式成立，所以M c N =2.故选：C.2.A【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共规复数的概念得到I，从而解出.1-i-2i 1 -1【详解】因为z=G=所以Z=BPz-z=-i.故选：A.3.D【分析】根据向量的坐标运算求出4+2 6，a+曲,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.【详解】因为a=(l/)力=(1,T),所以a+=+4+b=(l+/_ )，由(a+力 匕)_L (a+可得，(a+Ab-a+jub =0,即(1 +为(1 +)+(1_/1)(1-)=0,整理得：2/=-1.故选：D.4.D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数y=2*在 R 上单调递增，而 函 数 刈=2#引在区间(0/)上单调递减，2则有函数y=x(x a)=(x 今2-5 在区间(0,1)上单调递减，因此 2 1,解 得 心 2,所以。的取值范围是2,小).答案第1 页，共 21页故选：D5.A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由e2=6q,得e；=3 e；,因 此?=3 x。！，而。1,所以”=苧.故 选:A6.B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得公+弘+1 =0,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为/+），2-4 1 =0,即（x-2 p +y 2=5,可得圆心C（2,0）,半径/=6，过点以0,-2）作圆C的切线，切点为A,B,因为 尸 =1 2 2+（-2）=2 夜,则|P A|=J l P C f-产=6,可得 s i n Z.APC=,c o s Z.A.PC=,2 V 2 4 2 V 2 4贝|J s i n/A P B =s i n 2Z APC=2 s i n Z APCcos Z A P C=2 x x =,4 4 4c o s Z A P B =c o s 2 N A P C =c o s?N A P C-s i n Z A P C =（乎）一（乎）=1=2 四，贝!1 1 P A|=|尸=ylPC2-r2=百，因为|P A +|P B|2-2|P A|-|P B|C O SZ APB=|C 4|2+|C 5|2-2|C 4|-|C B|C O SZ ACB且 Z A C B=7 t-Z APB,贝 I J 3+3 6 c o s Z A P 8 =5+5-I 0c o s（7 t-Z A P 8）,即3-c o sZ APB=5+5 c o sN A P B,解得c o sZ APB=-不合题意;若切线斜率存在，设切线方程为 -2,即丘-y-2 =0,则 一21=石,整 理 得 及2+8&+1=0，且=6 4-4 =6 0 0“2+1设两切线斜率分别为人,，则&=-8,2 =1，可得/=J（4 +&）2 _ 4 K&=2 V 1 5，77 nn s i n a rrz r/口 s i n a所以 t a n a =J 1 5 ,即=J 1 5 ,可得 c o s a =r ,1 +攵 的 c o s a V I 5则 s i n 2 a +c o s2 a =s i n?a +sn a=i,1 5且ae（0,5）,则s i n a 0,解得s i n a=乎.故选：B.7.C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前项和与第项的关系推理判断作答.，【详解】方 法1,甲：,为等差数列，设其首项为4,公差为d ,答案第3页，共2 1页则 S.z?q 4-n-(-M-l-)d,.Sn =4 4-7-2-1-(1.2 n 2=n+a,-d-,-S-.-+-i2 1 2 H+1n 2q因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；n反之，乙：4 为等差数列，即 至 _.=S ：(;1电=,川为常数,设为人n n+n n(n+1)n(n 4-1)即则$”=%+1-八(+1)，W-i=(n-l)a-t n(n-l),n2,两式相减得：，即a”,|-a“=2 f,对=1也成立,因此an为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2,甲：q 为等差数列，设数列%的首项,公差为d,即S“=4+空 尸 乙则2=4+牛 工 4=+4-：,因此 2 为等差数列，即甲是乙的充分条件；n 2 2 2 nq V V V反之，乙：2 为等差数列，即一 =,=+5-1)0,n n+n n即 Sn=n5j+n(n-l)D,5,=(n-l)51+(-1)(一 2)。,当2 2 时，上两式相减得：S-S i=S|+2(1)。，当 =1时，上式成立,于是 为=4 4-2(7?-!),又 见+|一%=%+2。一 4+2(-1)0 =2。为常数，因此 q 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C8.B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+/7),再利用二倍角的余弦公式计算作答.详解】因为 s in(a-0 =sin a cos fJ-cos a sin 尸=1，而 cos a sin p=,因此 sinacos =，,3 6 22则 sin(a+/)=sinacos +cosasin/?=,2 1所以 cos(2a+2/3)=cos 2(a+y?)=l-2sin2(a+/?)=1-2x()2=-.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法答案第4 页，共 21页(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.9.B D【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A:设，*3，匕,三的平均数为机，内,，工6的平均数为，火Iji!.Ji n tn=-X-j-+-X=-,-+-X-3-+-X-4-+-X-5-+-入-6-