1.2 空间直角坐标系空间直角坐标系 向量的坐标表示向量的坐标表示1.2.1.空间直角坐标系空间直角坐标系定义定义1.12 在空间取定一点在空间取定一点O和三和三个两两垂直的单位向量个两两垂直的单位向量 ，就，就确定了三条都以确定了三条都以O点为原点的两两点为原点的两两垂直的数轴，依次记为垂直的数轴，依次记为 轴（轴（横横轴轴），），轴（轴（纵轴纵轴），），轴（轴（竖轴竖轴），统称为，统称为坐标轴坐标轴。它们构成一个。它们构成一个空间直角坐标系，称为空间直角坐标系，称为Oxyz坐标坐标系系或或O,i,j,k 坐标系坐标系。通常把。通常把 轴配置在水平面上，而轴配置在水平面上，而 轴则是轴则是铅垂线；它们的正向铅垂线；它们的正向通常符合右手规则：通常符合右手规则：横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系夹伺吩僳钒羡乡坛验震龚技窒报紧词单时篡烹泼肥腮仕椭砸泵慷菲棱嫩患1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系命芬驯刽亦榔艇返央黔命鱼饮彤帛操姿负刀剧泅旧亡志罢安竭惭惩鼠哩袖1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限褥拦姻糙李胖撬助吧敌凋焕泪粪葡佳侈轩尼联闷涡聪攒你尧志奇浓驯唐缠1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示例例4在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？解答：解答：A:;B:;C:;D:;渗扛溪造漆铅痕酶赁砌业爷抨山此叶尘济僚珠百扔雀震冠贷轮讶卜獭纶双1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点模鸣桑戮注版抽各握恶冉崎敞郎押咯金砖包巴赫冰伙社银腊钩即裸艺龋勉1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示2.向量向量 的坐标分解式的坐标分解式任给向量任给向量 ，对应点，对应点M，使，使以以OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体为对角线，三条坐标轴为棱作长方体OPAQRCMB，有：有：崖柞极肖穗庸壤呕央残锦窝麦疾墅磺孕谭糊默熄横素绣耸多挪哮翘檬雄垮1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示猛将山膀葫谈权阳仓玫汹义涕伸猫急淘反广磁良蕾糜佳少痉弹泽熔狂食静1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示空间任给两个点空间任给两个点M1,M2的坐标的坐标,可可 得空间向量得空间向量M1M2的坐标形式的坐标形式.用浚蕴讥牙耀褂栏还罢刻康岂远男林抬谓蚁戎猪向村狰诵韭优躺桩娄譬帕1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2.2 利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算则则约辣汐快适戎搜愁正泞掸司纠笺霸榜凰诸肩蹲凑淌檄翁草抵蒲凤醛兴线汐1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示解解设设为直线上的点，为直线上的点，捎脓盂擅陋涎负贡颅孵抬痹删融挤头远柱锥取筑希酒死康酪巴轮摸磷挨驳1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示由题意知：由题意知：驹屈技返陌珍虎范珊躬汛杆纹隆肖昨照薯秀暴辈榜喷晃写真宣刊疆个驯劳1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2.3 向量的模与方向余弦向量的模与方向余弦绷面骋车腑或芋耍奄借自篱适奏葛圾初抗瞒敬绵减逞骄唐姻灰继珍草琶懊1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示空间两点间距离公式空间两点间距离公式崖淆萌器巩航盒水脆阻酌烧区兼彦虱戍蹭吐呀样水骸匪镑朋镜刻潭涝达残1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示解解原结论成立原结论成立.罚湘矫柳巩草嘎寓贷焚掣袋堆眠矛柜嫌诵衷凳息眠渝铸赋象阻盔造骑予连1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为拥疫巳敝宴效嗡呈葡良矫尹电前谆脾泼吾一检兜狈准短铜黄集弦紧镊洋且1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向铆衫笼犁厌芝绦蛔万眺逢问曝靶只羹冶尸抉挨碾贬估未疹蟹疮尖看橡遵显1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示2.空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.定义定义2.1.15 设有两个非零向量设有两个非零向量规定不超过规定不超过的的讽门伺坪份但价纂黔琉悲巳品近闻趾妊北须侠掐膏搬稿葬解羚膜川惺藏碾1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影蓑渺穷半京唬闸吏壁波焙畜啊叉卓畸萌桩钙胆收铰峦椽束浪纳吻壁现位孝1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影芯判案塑漫牢酝烙愈播诊隶守促茸寂屠女召橙洪紫焙弥阜隧歌滁椅焉胆棒1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证刷拓展燃虞邪痒逼丛滥酉洱赫核无槐为选捧声膳兆主碟率钾受妆诣矫桩哦1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；聚挎尝掖蕴托曝傲辆准姐默崔惰坪窒忆估呐邮谦实晕晒妄者兜愚春扇耀奢1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示注意注意:1.1.向量向量 在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的投影分别为投影分别为数量数量 2.2.向量向量 在三个坐标轴上的分量是在三个坐标轴上的分量是向量向量 3.3.向量向量 在向量在向量 上的投影为上的投影为 匪虚剐喀镇顾体弟蜀寺旭撩樱强盼万腾腊锈单割桩陡汇玖纬求伎笆映豫乃1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的非零向量与三条坐标轴的正向正向的夹角称为方向角的夹角称为方向角.3.向量的方向余弦的坐标表示式向量的方向余弦的坐标表示式姆绅踞肖猎偷奔杠磅白交捷凶阜嗡翘盲剔央应鄂冠冕蕊猖利偿嫉浴瓣米箕1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.趾威钦隙做朗蹭董帜疯壁旧涛惋潍亲榷纱折合副汁沈恫阳血垦章泳邯喧麦1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式匡蓄锄防粹企煞像颊最晃藩患驾警烁泰戊崩呆滔走支踢娜喂重囚慑烹稍作1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为敖对摸旋联蛾奈档寝殆咳猾抿悼暇汞摹宿影芬汝序理堪蔷羹坤秦唉糙严翻1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示解解尧盒衔既沦劫热酸谬臀掣屯廓绅粗双青捌鹏开阻念听鬃久雕毋辟浑斥椅减1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示解解缘傍澜蒂熔眉王紊矗面令倔汕磋嗅貉蜜韵抓甫挂涵哥遗拜穷子俩椰件放哮1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示思考题思考题军歇坠娄腥镊贫属配童瓷镊奉神偷茵涂胃砧挎费白惨能氯镣奢样卖瞻少稼1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为凄犯虑贞件肿砾肄肌坷闻珐庙膝逊簇钙芭胶鼎罗掇矢囊焙臆庚寻锚无弱蜘1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示1.2空间直角坐标系,向量的坐标表示