-1-课时作业 一、选择题 1若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”现从 1，2，3，4，5，6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A120 个 B80 个 C40 个 D20 个 C任选 3 个数，其中最大的数字作十位数，其余 2 个数作个位和百位再排列，所以有 C3 6A2 240(个)2(2014合肥一检)将包含甲、乙两队的 8 支队伍平均分成 2 个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有()A20 种 B35 种 C40 种 D60 种 A将 8 支队伍平均分成 2 组，每组 4 支队伍，要使甲、乙分在不同的小组，可从剩下 6 支队伍中选 3 支放在其中一组，另外 3 支队伍在另一组中，故满足题意的分组方案有 C3 620 种故选 A.3(2014湖南十校联考)某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有()-2-A140 种 B120 种 C35 种 D34 种 D从 7 人中选 4 人共有 C4 7种选法，除掉全部为男生的 C4 4种选法，满足条件的选法有 C4 7C4 434 种 4(2014银川模拟)有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36 种 B48 种 C72 种 D96 种 C恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先将三人排列，然后插空从而共 A3 3A2 472 种排坐法 5(2014济南二模)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为()A600 B288 C480 D504 D若数学排第一节课，则其余课可任意排列，若数学不排第一节课，则数学课有四种排法，体育课有四种排法，其余课任意排列根据分类加法和分步乘法计数原理得总的排法种数为 A5 544A4 4120384504.6(2014南昌二模)将 5 名学生分到 A，B，C 三个宿舍，每个宿舍至少 1 人至多2 人，其中学生甲不到 A 宿舍的不同分法有()A18 种 B36 种 C48 种 D60 种 D由题意知 A，B，C 三个宿舍中有两个宿舍分到 2 人，另一个宿舍分到 1人若甲被分到 B 宿舍：(1)A 中 2 人，B 中 1 人，C 中 2 人，有 C2 46 种分法；(2)A 中 1 人，B 中 2 人，C 中 2 人，有 C2 4C1 212 种分法；(3)A 中 2 人，B 中 2 人，C 中 1 人，有 C2 4C1 212 种分法，-3-即甲被分到 B 宿舍的分法有 30 种，同样甲被分到 C 宿舍的分法也有 30 种，所以甲不到 A 宿舍一共有 60 种分法，故选 D.二、填空题 7某国家代表队要从 6 名短跑运动员中选 4 人参加亚运会 4100 m 接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有_种参赛方法 解析若甲、乙均不参赛，则有 A4 424 种参赛方法；若甲、乙有且只有一人参赛，则有 C1 2C3 4(A4 4A3 3)144(种)；若甲、乙两人均参赛，则有C2 4(A4 42A3 3A2 2)84(种)，故一共有 2414484252 种参赛方法 答案252 8(2014浙江模拟)某班同学在今年春节写了一幅共勉的对联，他们将对联定成如下形状：则从上而下连读成“龙腾虎跃今胜昔，你追我赶齐争雄”(上、下两字应紧连，如第二行的第一个“腾”字可与第三行的第一或第二个“虎”字连读，但不能与第三行的第三个“虎”字相连)，共有_种不同的连读方式(用数字作答)解析依题意及分步计数原理可知，从上而下连读方式共有 C2 4C1 2C3 6240 种 答案240 9(2014江西八校联考)将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相邻的安排方式的种数为_ 解析先将 5 人分成三组(1，1，3 或 2，2，1 两种形式)，再将这三组人安排到 3 个房间，然后将 2 个空房间插入前面住了人的 3 个房间形成的空档中即可，故安排方式共有(C1 5C1 4C3 3A2 2C2 5C2 3C1 1A2 2)A3 3C2 4900(种)答案900-4-三、解答题 10按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子；(2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球 解析(1)每个小球都有 4 种方法，根据分步计数原理共有 464 096 种不同方法(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3，1，1，1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分2，2，1，1 放入盒中，共有 C3 6C1 4A3 3C2 6C2 4A2 41 560 种不同放法(3)解法一：按 3，1，1，1 放入有 C1 4种方法，按 2，2，1，1，放入有 C2 4种方法，共有 C1 4C2 410 种不同放法 解法二：(挡板法)在 6 个球之间的 5 个空中任选三空隔开，共有 C3 510 种不同方法 113 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾 解析(1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A5 72 520 种排法(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A7 75 040 种排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A3 3种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A4 4种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A2 2种排法，由分步乘法计数原理知，共有 NA3 3A4 4A2 2288 种(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A4 4种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空中安排共有 A3 5种排法，故 NA4 4A3 51 440 种(5)先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A1 55 种排法；再安排其他人，有 A6 6720 种排法所以共有 A1 5A6 63 600 种排法-5-12有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成 1 本、2 本、3 本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；(3)分成每组都是 2 本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本 解析(1)分三步：先选一本有 C1 6种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C2 5种选法；对于余下的三本全选有 C3 3种选法，由分步乘法计数原理知有 C1 6C2 5C3 360 种选法(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有 C1 6C2 5C3 3A3 3360 种选法(3)先分三步，则应是 C2 6C2 4C2 2种选法，但是这里面出现了重复，不妨记 6 本书为分别 A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB、CD、EF)，则 C2 6C2 4C2 2种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有 A3 3种情况，而且这 A3 3种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有C2 6C2 4C2 2A3 315(种)(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有C2 6C2 4C2 2A3 3A3 3C2 6C2 4C2 290(种)