-1-课时作业 一、选择题 1(2014唐山模拟)已知双曲线的渐近线为 y 3x，焦点坐标为(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()A.x24y2121 B.x22y241 C.x224y281 D.x28y2241 A由题意可设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由已知条件可得ba 3，c4，即ba 3，a2b242，解得a24，b212，故双曲线方程为x24y2121.2(2014广东六校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A(5，0)和 C(5，0)，顶点 B 在双曲线x216y291 上，则sin B|sin Asin C|为()A.32 B.23 C.54 D.45 C设ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，由正弦定理得sin B|sin Asin C|b|ac|，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C 是双曲线的焦点，且 b10，|ca|8.所以sin B|sin Asin C|b|ac|54.故选 C.3已知 m 是两个正数 2，8 的等比中项，则圆锥曲线 x2y2m1 的离心率为()-2-A.32或 52 B.32 C.5 D.32或 5 Dm216，m4，故该曲线为椭圆或双曲线 当 m4 时，ecaa2b2a32.当 m4 时，ecaa2b2a 5.4(2013浙江高考)如图，F1，F2是椭圆 C1：x24y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是()A.2 B.3 C.32 D.62 D椭圆 C1中，|AF1|AF2|2a4，|F1F2|2c2 3.又四边形 AF1BF2为矩形，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F1|2，|AF1|2 2，|AF2|2 2，双曲线 C2中，2c2 3，2a|AF2|AF1|2 2，故 e3262，故选 D.5(理)(2014辽宁五校联考)已知点 M(3，0)、N(3，0)、B(1，0)，动圆 C 与直线MN 切于点 B，分别过点 M、N 且与圆 C 相切的两条直线相交于点 P，则点 P的轨迹方程为()-3-Ax2y281(x1)Bx2y2101(x0)Cx2y281(x0)Dx2y2101(x1)A如图，设两切线分别与圆切于点 S、T，则|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT|TN|)|SM|TN|BM|BN|22a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，a1，c3，所以 b28，故点 P 的轨迹方程为 x2y281(x1)5(文)(2014青岛模拟)设 F1，F2分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点，若点 P在双曲线上，且PF1 PF2 0，则|PF1 PF2|()A.10 B2 10 C.5 D2 5 B如图，由PF1 PF2 0 可得PF1 PF2，又由向量加法的平行四边形法则可知PF1QF2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF1 PF2|PQ|2c2 10，所以选 B.二、填空题 6(2014苏锡常镇一调)若双曲线 x2y2a1(a0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于 3，则此双曲线方程为_ 解析双曲线 x2y2a1(a0)的一个焦点(1a，0)到一条渐近线axy0的距离为a（1a）a1 3，解得 a3，故此双曲线方程为 x2y231.答案x2y231-4-7(2014乌鲁木齐第一次诊断)设 A、B 为双曲线x2a2y2b21(ba0)上两点，O 为坐标原点若 OAOB，则AOB 面积的最小值为_ 解析设直线 OA 的方程为 ykx(k0)，则直线 OB 的方程为 y1kx，则点A(x1，y1)满足ykxx2a2y2b21，x2 1a2b2b2a2k2，y2 1a2b2k2b2a2k2，|OA|2x2 1y2 1（1k2）a2b2b2a2k2，同理|OB|2（1k2）a2b2k2b2a2，|OA|2|OB|2（1k2）a2b2b2a2k2（1k2）a2b2k2b2a2 a4b4a2b2（a2b2）2k2（k21）2，k2（k21）21k21k2214(当且仅当 k1 时，取等号)，|OA|2|OB|24a4b4（b2a2）2，又 ba0，SAOB12|OA|OB|的最小值为a2b2b2a2.答案a2b2b2a2 三、解答题 8 已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4，10)点 M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1 MF2 0.-5-解析(1)e 2，可设双曲线方程为 x2y2(0)过点(4，10)，1610，即 6.双曲线方程为x26y261.(2)证明：由(1)可知，双曲线中 ab 6，c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，kMF1m32 3，kMF2m32 3，kMF1kMF2m2912 m23.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故 kMF1kMF21，MF1MF2.MF1 MF2 0.9(2014太原四校联考)已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆 x2y210 x200 相切过点 P(4，0)作斜率为14的直线 l，使得 l 与 G 交于 A，B 两点，和 y 轴交于点 C，并且点 P 在线段 AB 上，又满足|PA|PB|PC|2.(1)求双曲线 G 的渐近线方程；(2)求双曲线 G 的方程；(3)椭圆 S 的中心在原点，它的短轴是 G 的实轴，如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分求椭圆 S 的方程 解析(1)设双曲线 G 的渐近线方程为 ykx，则由渐近线与圆 x2y210 x200 相切可得|5k|k21 5，k12，即双曲线 G 的渐近线方程为 y12x.(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为 x24y2m，把直线 l 的方程 y14(x4)代入双曲线方程，整理得 3x28x164m0，即 xAxB83，-6-xAxB164m3.(*)|PA|PB|PC|2，P，A，B，C 共线且 P 在线段 AB 上，(xPxA)(xBxP)(xPxC)2，即(xB4)(4xA)16，整理得 4(xAxB)xAxB320.将(*)代入上式得 m28，双曲线方程为x228y271.(3)由题可设椭圆 S 的方程为x228y2a21(a2 7)，设垂直于 l 的平行弦的两端点分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 P(x0，y0)，即x2 128y2 1a21，x2 228y2 2a21，两式作差得（x1x2）（x1x2）28（y1y2）（y1y2）a20.由于y1y2x1x24，x1x22x0，y1y22y0，x0284y0a20.垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线x284ya20 截在椭圆 S 内的部分 又由已知，这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分，所以a211212，即 a256，故椭圆 S 的方程为x228y2561.