-1-课时作业 一、选择题 1设动点 P 在直线 x10 上，O 为坐标原点，以 OP 为直角边，点 O 为直角顶点作等腰直角三角形 OPQ，则动点 Q 的轨迹是()A椭圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线 B设 Q(x，y)，P(1，a)，aR，则有 OP,OQ,0，且|OP,|OQ,|，x2y21a2，xay0，消去 a，得 x2y21x2y2x2y2y2.x2y20，y1.即动点 Q 的轨迹为两条平行直线 y1.2已知点 M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M、N与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P 点的轨迹方程为()Ax2y281(x1)Bx2y281(x1)Cx2y281(x0)Dx2y2101(x1)A设另两个切点为 E、F，如图所示，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|，从而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|422|MN|，所以 P 的轨迹是以 M、N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支a1，c3，则 b28.-2-故方程为 x2y281(x1)3已知定点 F1(2，0)，F2(2，0)，N 是圆 O：x2y21 上任意一点，点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 B设 N(a，b)，M(x，y)，则 ax22，by2，代入圆 O 的方程得点 M 的轨迹方程是(x2)2y222，此时|PF1|PF2|PF1|(|PF1|2)2，即|PF1|PF2|2，故所求的轨迹是双曲线 4若点 P(x，y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2，则点 P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28x Cx28y Dx28y C点 P(x，y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2，说明点P(x，y)到点 F(0，2)和到直线 y20 的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为 x22py，其中 p4，故所求的轨迹方程为 x28y.5已知 A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A，B 两点，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是()Ay2x2481(y1)By2x2481(y1)Cx2y2481(x1)Dx2y2481(x1)A由题意知|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点 F 的轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的下支又 c7，a1，b248，点 F 的轨迹方程为 y2x2481(y1)6设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于 A，B 两点，点 Q 与-3-点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若，则点 P 的轨迹方程是()A.32x23y21(x0，y0)B.32x23y21(x0，y0)C3x232y21(x0，y0)D3x232y21(x0，y0)A设 A(a，0)，B(0，b)(a，b0)可得 BP,(x，yb)，PA,(ax，y)，OQ,(x，y)，AB,(a，b)由 BP,2PA,得x2a2x，yb2y，即a32x，b3y.由 OQ,AB,1 得 axby1.所以32x23y21(x0，y0)二、填空题 7点 P 是圆 C：(x2)2y24 上的动点，定点 F(2，0)，线段 PF 的垂直平分线与直线 CP 的交点为 Q，则点 Q 的轨迹方程是_ 解析依题意有|QP|QF|，则|QC|QF|CP|2，又|CF|42，故点 Q 的轨迹是以 C、F 为焦点的双曲线，a1，c2，得 b23，所求轨迹方程为 x2y231.答案x2y231 8直线xay2a1 与 x，y 轴交点的中点的轨迹方程_ 解析设直线xay2a1 与 x，y 轴交点为 A(a，0)，B(0，2a)，A，B 中点为M(x，y)，-4-则 xa2，y1a2，消去 a，得 xy1，a0，a2，x0，x1.答案xy1(x0，x1)9由抛物线 y22x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q，连接顶点 O 与 P的直线和连接焦点 F 与 Q 的直线交于点 R，则点 R 的轨迹方程为_ 解析设 P(x1，y1)，R(x，y)，则 Q(12，y1)，F(12，0)，则直线 OP 的方程为 yy1x1x，直线 FQ 的方程为 yy1(x12)，由得 x12x12x，y12y12x，将其代入 y22x，可得 y22x2x.即点 R 的轨迹方程为 y22x2x.答案y22x2x 三、解答题 10已知定点 F(0，1)和直线 l1：y1，过定点 F 与直线 l1相切的动圆的圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l2交动点 C 的轨迹于 P，Q 两点，交直线 l1于点 R，求,的最小值 解析(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1为准线的抛物线，动点 C 的轨迹方程为 x24y.(2)由题意知，直线 l2方程可设为 ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去 y，得 x24kx40.-5-设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.又易得点 R 的坐标为(2k，1)，,(x12k，y11)(x22k，y21)(x12k)(x22k)(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)4k24 4(1k2)4k(2k2k)4k24 4(k21k2)8.k21k22，当且仅当 k21 时取等号，42816，即 RP,RQ,的最小值为 16.11已知椭圆的中心是坐标原点 O，焦点 F1，F2在 y 轴上，它的一个顶点为A(2，0)，且中心 O 到直线 AF1的距离为焦距的14，过点 M(2，0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P，Q，点 N 在线段 PQ 上(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|NQ|PN|MQ|，求动点 N 的轨迹方程 解析(1)设椭圆的标准方程是y2a2x2b21(ab0)由于椭圆的一个顶点是 A(2，0)，故 b22.根据题意得AF1O6，sin AF1Oba，即 a2b，a28，所以椭圆的标准方程是y28x221.(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l的方程为 yk(x2)-6-直线 l 的方程与椭圆方程联立消去 y 得(k24)x24k2x4k280.由 16k44(k24)(4k28)0，得2k2.根据根与系数的关系得 x1x24k24k2，x1x24k284k2.又|PM|NQ|PN|MQ|，即(2x1)(x2x)(xx1)(2x2)解得 x1，代入直线 l 的方程得 yk，y(2，2)所以动点 N 的轨迹方程为 x1，y(2，2)12(2012辽宁高考)如图，动圆 C1：x2y2t2，1t3，与椭圆 C2：x29y21 相交于 A，B，C，D 四点，点 A1，A2分别为 C2的左，右顶点(1)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线 AA1与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程 解析(1)设 A(x0，y0)，则矩形 ABCD 的面积 S4|x0|y0|.由x2 09y2 01 得 y2 01x2 09，从而 x2 0y2 0 x2 0(1x2 09)19(x2 092)2 94.当 x2 092，y2 012时，Smax6.从而 t 5时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6.(2)由 A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3，0)，A2(3，0)知 直线 AA1的方程为 yy0 x03(x3)直线 A2B 的方程为 yy0 x03(x3)由得 y2y2 0 x2 09(x29)-7-又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y2 01x2 09.将代入得x29y21(x3，y0)因此点 M 的轨迹方程为x29y21(x3，y0)