2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题28 开普勒行星运动定律、天体质量密度估算和不同位置重力加速度导练目标导练内容目标1开普勒行星运动定律目标2天体质量密度估算目标3不同位置重力加速度【知识导学与典例导练】一、 开普勒行星运动定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等=k,k是一个与行星无关的常量注意：行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。【例1】2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站。对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道，神舟十二号飞船沿着半径为的圆轨道I运动到Q点时，通过变轨操作，沿椭圆轨道运动到P点与天和核心舱对接，从Q到P经历的时间为T，则（）A神舟十二号在轨道I上的周期为B天和核心舱在轨道上的周期为C神舟十二号飞船在轨道上经过Q点的加速度小于轨道上经过Q点的加速度D在相同的时间内，轨道上神舟十二号与O点的连线和轨道上天和核心舱与O点的连线扫过的面积相等【答案】B【详解】A轨道的运动周期为根据开普勒第三定律神舟十二号在轨道I上的周期为故A错误；B根据开普勒第三定律天和核心舱在轨道上的周期为故B正确；C由，Q点加速度为两轨道在Q点时到地球的距离相同，则加速度相等，故C错误；D根据开普勒第二定律，同一轨道上，在相同的时间内，天体与O点的连线扫过的面积相等，轨道和轨道是不同轨道，故D错误。故选B。二、 天体质量密度估算1.“自力更生”法(gR)：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Gmg得天体质量M。(2)天体密度。(3)GMgR2称为黄金代换公式。2.“借助外援”法(Tr)：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。(1)由Gmr得天体的质量M。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。【例2】“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。下列正确的是（）A月球表面重力加速度B月球的质量为C月球的第一宇宙速度D月球同步卫星离月球表面高度为【答案】A【详解】A由自由落体运动规律有所以有故A正确；B在月球表面的物体受到的重力等于万有引力则故B错误；C月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力则故C错误；D月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力解得故D错误。故选A。【例3】2020年6月23日9时43分，长征三号乙运载火箭成功发射第55颗北斗导航卫星，并顺利进入地球静止轨道，实现了全球卫星导航系统组网成功。已知该卫星在地球静止轨道距离地面的高度为地球半径的N倍，其运行周期约为T，地球的半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（）A该卫星的发射速度可以小于7.9km/sB该卫星的质量为C地球的质量为D地球表面的重力加速度为【答案】C【详解】A第一宇宙速度7.9km/s是卫星的最小发射速度，故A错误；C假设地球的质量为M、卫星的质量为m，卫星环绕地球做圆周运动时万有引力提供心力，则由又r=(N+1）R解得故C正确；B显然由C选项解析可知，卫星质量不可求，故B错误；D对于位于地球表面的物体，万有引力近似等于重力，则有则由以上整理得故D错误；故选择C。三、 不同位置重力加速度1万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：Gmg1m2R。(2)在两极上：Gmg2。2星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mgG，得g。(2)在地球上空距离地心rRh处的重力加速度为g，由，得所以。3万有引力的“两个推论”推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对其的万有引力,即F=G。【例4】在北极重力为的物体，在赤道上重力变为。若将地球看成质量分布均匀的球体，北极的重力加速度为，则地球半径与自转周期的平方之比为（）ABCD【答案】C【详解】在北极G1=mg在赤道上解得故选C。【例5】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）A1B1CD【答案】A【详解】如图所示根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故又联立解得设矿井底部的重力加速度为g，图中阴影部分所示球体的半径rRd，则联立解得故选A。【多维度分层专练】12020年7月，我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，探测器在星箭分离后，依次进入地火转移轨道、捕获轨道、停泊轨道、探测轨道，如图所示。2021年5月在火星乌托邦平原着陆。则探测器（）A每次经过P点时的加速度相等B每次经过P点时的机械能相等C绕火星运行时在探测轨道上的周期最大D绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等【答案】A【详解】A根据牛顿第二定律可得解得由于、都相同，可知探测器每次经过P点时的加速度相等，A正确；B探测器依次进入地火转移轨道、捕获轨道、停泊轨道、探测轨道，每次在P点变轨都要进行点火减速，在点火减速过程，探测器的机械能减少，B错误；C根据开普勒第三定律可知绕火星运行时在探测轨道上的周期最小，C错误；D根据开普勒第二定律可知探测器绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，但在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积不相等，D错误；故选A。22021年10月16日，长征二号F运载火箭遥十三搭载着翟志刚、王亚平与叶光富三位航天员的神舟十三号载人飞船发射升空，神舟十三号采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱径向端口，与此前已对接的天舟二号、天舟三号一起构成四舱（船）组合体，如图甲所示。如图乙所示，轨道为空间站运行圆轨道，轨道为载人飞船运行椭圆轨道，两轨道相切于A点，载人飞船在A点与空间站组合体完成对接，若空间站组合体距地球表面的高度为h，地球半径为R，航天员与载人飞船始终相对静止，则下列说法正确的是（）A翟志刚、王亚平与叶光富三位航天员随空间站组合体做圆周运动过程中，所受向心力大小相等B对接前，载人飞船与地心的连线和空间站组合体与地心的连线在相同时间内扫过的面积相同C若载人飞船在轨道、的运行周期之比为，则轨道近地点距地球表面的距离为D载人飞船上在轨道、上运行经过A点时向心加速度不相等【答案】C【详解】A航天员随空间站做圆周运动过程中，所受向心力由万有引力提供因为三人质量可能不同，因此所受向心力大小可能不相等，故A错误；B根据开普勒第二定律可知在不同轨道上，载人飞船与地心的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故B错误；C根据开普勒第三定律可知，载人飞船在轨道、上运行时满足（a为轨道的半长轴）且有（x为轨道近地点距地球表面的距离）联立解得故C正确；D载人飞船在轨道、上运行经过A点时所受万有引力相等，因此在轨道、上运行经过A点时向心加速度相等，故D错误。故选C。3随着科技的发展，人们期待将来有一天能在地球与其他星球之间自由往返。若航天爱好者在登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体）的过程中，测得航天器在该星球表面附近飞行的周期为T，着陆后用测力计测得质量为m0的砝码重力为P，引力常量为G，由此可算出（）A该星球同步卫星的质量m和半径RB该星球的质量M和航天器的质量mC该星球的半径R和密度D该星球的公转周期T0和第一宇宙速度v【答案】C【详解】ABC由题意可得该星球表面的重力加速度又因；可得该星球半径、质量；结合；可求出该星球的密度同步卫星和航天器是绕行天体，不能通过题给条件求出质量，选项A、B错误，C正确；D该星球的第一宇宙速度但该星球的公转周期不可求，选项D错误。故选C。4在浩瀚的天空，有成千上万颗的人造天体一直在运行。为研究某未知天体，人类发射了一颗探测器围绕该天体做圆周运动，如图所示。若测得该天体相对探测器的张角为，探测器绕该天体运动的周期为T，引力常量为G，则该天体的密度为（）ABCD【答案】A【详解】设该天体的质量为M，半径为R，探测器的质量为m，探测器绕该天体运动的轨道半径为r，根据万有引力提供探测器匀速圆周运动的向心力解得天体的质量为根据球密度公式得故A正确，BCD错误。故选A。5数千年以来，人类不断探索着未知而又神秘的宇宙。我们期待着能认识宇宙中每一个星球，期待着将来某一天能在宇宙空间任意穿梭。如果航天器登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体）的过程中，测得航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为T，着陆后用测力计测得质量为mo的砝码重力为Fo，已知引力常量为G。忽略星球自转影响，由此推算的结果正确的是（）A该星球表面重力加速度为B该星球的半径C该星球的密度D该星球的第一宇宙速度【答案】BC【详解】由牛顿第二定律由万有引力公式由球体体积公式由质量和密度的关系联立解得；故选BC。6若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为（质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零）（）ABCD【答案】C【详解】设地球的密度为，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有由于地球的质量为所以重力加速度的表达式可写成质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（Rd）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度所以有根据万有引力提供向心力有Gma“天宫一号”所在处的重力加速度为a所以，故选C。7假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（）ABCD【答案】B【详解】若