等腰三角形的判定等腰三角形的判定知知识识回回顾顾等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个等腰三角形的两个底角底角相等相等简称为“等等边对边对等角等角”知知识识回回顾顾等腰三角形的性质2：等腰三角形的等腰三角形的顶顶角平分角平分线线、底、底边边上的中上的中线线、底、底边边上的高上的高相相互重合互重合简称为“三三线线合一合一”这“三三线线”所在的直线也是等腰三角形的对对称称轴轴思考思考如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得A=B如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？换而言之，如果A=B，会有AO=BO吗？猜想与猜想与证证明明如果一个三角形有两个角相等两个角相等，那么这两个角所两个角所对对的的边边也相等也相等你知道怎么证明吗？先变成符号形式已知：ABC中，B=C求证：AB=AC怎么证明边相等呢？可以证三角形全等没有全等怎么办呢？可以构造怎么构造呢？可以作出顶角的平分线猜想与猜想与证证明明已知：ABC中，B=C 求证：AB=AC证明：作BAC的平分线AD，BAD=CAD在BAD和CAD中，BAD=CAD，B=C，AD=ADBADCAD（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边相等）还有其他证法吗？也可以过点A作高猜想与猜想与证证明明已知：ABC中，B=C 求证：AB=AC证明：作ADBC于点D，ADB=ADC=90在BAD和CAD中，B=C，ADB=ADC，AD=ADBADCAD（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边相等）作角平分线和高都可以证明，作中线行吗？猜想与猜想与证证明明已知：ABC中，B=C 求证：AB=AC证明：取BC中点D，连结AD，BD=CD在BAD和CAD中，AD=AD，BD=CD，B=C这是边边角，能判定全等吗？不能作中线不能证明这个结论结论结论等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等两个角相等，那么这两个角所两个角所对对的的边边也相等也相等简称为“等角对等边”注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角同一个三角形形中的边角关系等腰三角形的判定在证明中怎么写过程呢？在ABC中，B=C（已知）AC=AB（等边对等角）性性质质和判定的区和判定的区别别等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？性质判定等边等角等角等边例例题题求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形已知：CAE是ABC的外角，AD平分CAEADBC求证：AB=ACADBC，1=B（两直线平行，同位角相等）2=C（两直线平行，内错角相等）AD平分CAE，1=2，B=C，ABC是等腰三角形证明：练习练习已知一个三角形的两个内角为50和80，则第三个角为_，它是_三角形答案：50，等腰练习练习在ABC中，其两个内角如下，则能判定ABC为等腰三角形的是()CA.A=40，B=50B.A=40，B=60C.A=40，B=70D.A=40，B=80练习练习如图，A=36，AB=AC，BD平分ABC，则图中一共有_个等腰三角形答案：3练习练习如图，A=36，AB=AC，BD平分ABC，CE平分ACB交BD于点O，则图中一共有_个等腰三角形答案：8练习练习如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，NAC=40，NBC=80求从B处到灯塔C的距离提示：等角对等边提示：等角对等边练习练习已知：如图，ABC中，A=B=C求证：AB=AC=BC练习练习如图ABC中，AB=AC，B=36，D、E分别是BC边上两点，且ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形有_个答案：6练习练习已知：如图，ABC的BC边上有D，E两点，1=2，3=4求证：ABC是等腰三角形.提示：先证明B=C已知：如图，ADBC，BD平分ABC求证：AB=AD提示：先把相等的边标在图中总结：角平分线+平行等腰角平分角平分线线+平行平行等腰三角形等腰三角形角平分角平分线线+平行平行等腰三角形等腰三角形如图，ABC中，ABC、ACB的平分线交于点O，过点O作DE/BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE提示：角平分线+平行等腰如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DEBC，交AB于点E判断BDE是不是等腰三角形，并说明理由角平分角平分线线+平行平行等腰三角形等腰三角形提示：角平分线+平行等腰角平分角平分线线+平行平行等腰三角形等腰三角形提示：角平分线+平行等腰如图，ABC中，BI，CI平分ABC，ACF，过点I作IDBC分别交AC，AB于点E，D若BD=9cm，CE=4cm，则DE等于（）B练习练习1如图，A=36，DBC=36，C=72，分别计算1，2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形练习练习2如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一个等腰三角形吗？为什么？思考：“折叠”隐藏着什么条件呢？所有的对应边相等，所有的对应角相等看到折叠，就可以把等量关系标在图中提示：平行+角平分线等腰练习练习3求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形练习练习4如图，AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB求证：OC=OD例例题题已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形作法：（1）作线段AB=a；（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC=h；（4）连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形.如右图所示，ABC是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看练习练习方法一：用角的相等来画方法二：用过一边中点作垂线的方法来画角平分角平分线线+垂垂线线如图，已知ABC的面积为12，AD平分BAC，且ADBD于点D，则ADC的面积是_提示：延长BD总结：角平分线+垂线等腰三角形6角平分角平分线线+垂垂线线提示：延长BE如图所示，在ABC中，AE平分BAC，BEAE，ABE=2C求证：AC-AB=2BE角平分角平分线线+垂垂线线如图，已知等腰RtABC中，AB=AC，BAC=90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于D求证：BF=2CD提示：延长CD与等角与等角对对等等边边有关的有关的证证明明已知：如图，AD是BAC的平分线，E为BC延长线上一点，EAC=B，EFAD于点F.求证：EF平分AEB提示：先证明ADE是等腰三角形与等角与等角对对等等边边有关的有关的证证明明P是等腰三角形底边BC上的一点，过P作PQBC交AB于Q，交CA的延长线于R求证：AQR是等腰三角形提示：先把等角在图中标出来与等角与等角对对等等边边有关的有关的证证明明P是等腰三角形底边BC所在直线上的一点，过P作PQBC交AB于Q，交CA的延长线于R，先补全图形，然后证明AQR是等腰三角形提示：先把等角在图中标出来在ABC中，AD平分BACBDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E（1）求证：AE=DE；（2）若AB=8，求线段DE的长与等角与等角对对等等边边有关的有关的证证明明提示1：角平分线+平行等腰三角形提示2：证明ED=EB与等角与等角对对等等边边有关的有关的证证明明已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，B=D求证：BC=CD提示：连接BD等腰直角斜等腰直角斜边边中点模型中点模型在ABC中，AB=AC，B=90，点D、E分别是AB、BC边上的动点，且BD与CE相等，点M是AC的中点，试探究在D、E运动过程中，DEM的形状是否发生变化，它是什么形状的三角形？提示1：连接BM提示2：证明BDMCEM等腰与全等等腰与全等综综合合如图所示，在ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE（1）求证DEF是等腰三角形；（2）当A=40时，求DEF的度数提示：证BEDCFE答案：（2）70等腰与全等等腰与全等综综合合已知：如图，ABC中，ABAC，D点在AB上，E点在AC的延长线上，且BDCE，连结DE，交BC于F求证：DF=EF提示：过点D做DPAC总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造等腰与全等等腰与全等综综合合已知：如图，ABC中，ABAC，D点在AB上，E点在AC的延长线上，且DFEF，连结DE，交BC于F求证：BD=CE提示：过点D做DPAC总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造寻寻找找满满足等腰的点足等腰的点如图，已知RtABC，C=90，A=20，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_个答案：8寻寻找找满满足等腰的点足等腰的点在正方形ABCD内找一点P，使PAB、PBC、PCD、PAD都是等腰三角形，这样的P点有几个？在正方形ABCD外呢？利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形（1）如图中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，则DBC是等腰三角形利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形（2）如图中，若ABC2C，如果延长线CB到D，使BDBA，连结AD，则ADC是等腰三角形利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形（3）如图中，若ABC2C，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ACDACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三角形利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰如图，ACB2B，BC2AC求证：A90提示：作ACB的平分线黄金三角形的剖分黄金三角形的剖分如图，在ABC中，AB=AC，A=36，你能把ABC分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)黄金三角形的剖分黄金三角形的剖分如图，在ABC中，AB=AC，A=36，你能把ABC分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)剖分出等腰三角形剖分出等腰三角形在ABC中，ABC=30，BAC=70在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条？提示：按剖分线所过的顶点分类总结总结这节课我们学到了什么？如果一个三角形有两个角相等两个角相等，那么这两个角所两个角所对对的的边边也相等也相等简称为“等角等角对对等等边边”注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角形同一个三角形中的边角关系总结总结等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？性质判定等边等角等角等边