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八、直线与圆(一)填空题1、(2008江苏卷9)在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点P(0,p)在线段AO 上(异于端点),设a,b,c, p 均为非零实数,直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ,一同学已正确算的OE的方程:,请你求OF的方程: 【解析】本小题考查直线方程的求法画草图,由对称性可猜想填事实上,由截距式可得直线AB:,直线CP: ,两式相减得,显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程2、(2010江苏卷9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是_ 解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2,圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,的取值范围是(-13,13)。3、(2012江苏卷12)在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 【解析】根据题意将此化成标准形式为:,得到,该圆的圆心为半径为 ,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需要圆心到直线的距离,即可,所以有,化简得解得,所以k的最大值是 .【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化,考查知识较综合,考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,这句话的理解,只需要圆心到直线的距离即可,从而将问题得以转化.本题属于中档题,难度适中.(二)解答题1.(2008江苏卷18)设平面直角坐标系中,设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C求:()求实数b 的取值范围; ()求圆C 的方程;()问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法()令0,得抛物线与轴交点是(0,b);令,由题意b0 且0,解得b1 且b0()设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程,故D2,F令0 得0,此方程有一个根为b,代入得出Eb1所以圆C 的方程为.()圆C 必过定点(0,1)和(2,1)证明:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边0120(b1)b0,右边0,所以圆C 必过定点(0,1)同理可证圆C 必过定点(2,1)2、(2009江苏卷18)(本小题满分16分) 在平面直角坐标系中,已知圆和圆.(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。(1)设直线的方程为:,即由垂径定理,得:圆心到直线的距离,结合点到直线距离公式,得: 化简得:求直线的方程为:或,即或(2) 设点P坐标为,直线、的方程分别为:w.w.w.zxxk.c.o.m ,即:因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得:圆心到直线与直线的距离相等。 故有:,化简得:关于的方程有无穷多解,有: w.w.w.zxxk.c.o.m 解之得:点P坐标为或。3、(2013江苏卷17)17本小题满分14分。如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上。(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围。xyAlO答案:17解:(1)由得圆心C为(3,2),圆的半径为圆的方程为:显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即或者所求圆C的切线方程为:或者即或者(2)解:圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4)则圆的方程为:又设M为(x,y)则整理得:设为圆D点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点由得由得终上所述,的取值范围为:
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