nE1.AnAn.（7）对称阵与反对称矩阵：对称矩阵：满足AAT的方阵，即aijaji1230200kkk10k另解：00且010A01001020001000000E10，0010001，000A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A30，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆ABA1BA13E,求B.2A可逆且3AAABAB3AAA)B6EB6(2EA)16diang(12ij11121na a21 22 2n 称为m n 矩阵.m1am2a1 2 n .a21 22下三角矩阵n1an2annaa1n21222n.aaaa第二讲 矩阵与运算一、概念1. 【矩阵定义】由m的m行n列的数表A2. 特殊矩阵：1对角阵 数量矩阵( 纯量矩阵)n 个数a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) 排成aaamndiag ( , , , )naaE .aa11a a.aa11a上三角矩阵nn子块行数相同，同列子块列数相等.T11ATs1注意：分块矩阵的转置AT.Tsr注：哈达玛矩阵H,H.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.分析：EEA3EEA3(EA)(EAA2)，(EA)A、B的乘积仍然为对称矩阵的充要条件为A与B是可交换矩阵；2）反对称矩阵A、B的乘积仍然为反对称矩阵(A2AE)E，14练习：2001年）设方阵A满足A2A4E，证明AE可逆，并求AE1.【也可用凑的m n ij m niji2 2 jis sj ik kjA E m n nA m n ,n nn n n3. 矩阵的运算（ 1 ）加（减）法 ：C m nA (a b ) (c ) .n n Bn n ij ij m n ij m n运算律：交换律、结合律成立.（ 2 ）数乘 ： A ( a ) .运算律：设 , 为数, 则( )A ( A) ;( )A A A; (A B) A B .（ 3）乘法 ：C A B m s s ncm nij i1 1jc a ba ba b s a b , (i 1,2, m; j 1,2, ,n).k 1运算律： A(B C) AB AC , (A B)C AC BC ；（矩阵乘法的左右分配律） (AB) ( A)B A( B)( 其中 为数) ；（ 即数与矩阵相乘可以移动数的位置 ）(AB)CA(BC) ；（结合律）E Am m n注意：矩阵的乘法不满足（ 1 ）交换律.（ 2 ）消去律.(4) 矩阵的乘方 （对于方阵才谈幂）Ak Al Ak l , (Ak )l Akl k , l 为正整数.规定 A0 E . 特别地 En E .( E )AA A ( E ). （纯量矩阵为可交换矩阵）)10,(3)0()diag(0,10,0)505(A)P()P1000505例9（1998.）设A0.例15证明：若n阶矩阵A满足A32A3E0，则有AE可逆，并求AE1解因为A32A3E0(AE)013(161312131P可逆，且216APP1(A)P()P1，)3223(1)0,(2B7BA是对称矩阵的充分必要条件，并证明之.提示：3AB7BA为对称矩阵(3AB7BA)T3AB7BAA B BA .A A1 2 nA21.如 A 为对称矩阵.ijijjiAB k Ak BkAk Bk注意：因为矩阵乘法不满足交换律，一般地 ，但当 A与 B 可交换时，一定有 AB k .（ 5 ）转置矩阵AT的性质 (AT )T A; (A B)T AT BT ; ( A)T(AB)T BT AT ET E ，( E)T E （6）方阵的行列式性质： 设 A , B 为n 阶方阵, 则(AT ); T.AT；A n A ；AB, , A 均为n 阶方阵， 则A A1 2AnA An E 1. An An .（ 7 ）对称阵与反对称矩阵：对称矩阵：满足 A AT 的方阵，即 aij aji1 2 3 02 1 7 23 7 5 6i, j 1,2, ,n .0 2 6 4说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.反对称矩阵：满足条件AT A的矩阵，即aaa (i, j 1,2, n,i j)0(i, j 1,2, n , i j) .;（D）AAT是对称矩阵.答案：（D）.三、应用举例例1解矩阵方程（1）48xy74uv1023040所以B4(AE)1E040.002例10（同济P17）设AB.提示：Adiag(1,2,1)AAAA)，总有g(A)f(A)f(A)g(A).f(A)Pf()P1.12nf()1f()2f()dia利用分块矩阵方程求逆矩阵1A1B1CA1OB1.22二、提问1.（1993年）设,1231dA21A22Aij n n伴随矩阵的重要性质：(x)（ 10）结论：设aA E .m0mS (A AT ) 为反对称矩阵.ij1n2n1 1 n如 A02302072370602为反对称矩阵.60对于任意n阶方阵 A ，则 H 12(A AT )为对称阵；12（ 8）伴随矩阵： 设A (aij )n n ，则行列式 A 的各个元素的代数余子式 A 所构成的矩阵AA11A12AAn1An2 称为矩阵 AA(a ) 的伴随矩阵，nna bc d其中 A 为a 的代数余子式.ij ij结论：设 A ，则 Ad cAA A Aa a x0 1ba xm，A为 n 阶方阵，则 (A) a Ea A1a Am 为 A 的m 次多项式.若 diag ( , , , ) ，则A（A可逆）.（12）矩阵的分块：以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.注意：分块时，横线与纵线要贯穿始终）B(3(A2E)*)*.解(1)A2E107032A2E90003A2E可逆，3A2E13A2E1时，n000n00n100n1nn10n1n2n1n1n1n,所以对于任意的k都有kkk1k22Ak1723756i,j1,2,n.0264说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.反对称矩阵：满1 2 n 0 1 2mAA( )nP P 1 ，则 An P nP 1 ，diag ( , , , ) ，则 k若 A若f ( )diag ( k , k , , k ) ；1 2 nn( )1( ) 2 .( )说明: 对于矩阵 A 的两个多项式 g(A), f (A) ，总有g(A) f (A) f (A) g(A) .f (A) Pf ( )P 1 .1 2 nf ( ) 1f ( )2f ( )diag ( f ( ), f ( ), , f ( ) a a a 2a m .（ 11 ）可逆矩阵： 当A 0 时, A 称为非奇异矩阵( 可逆矩阵), 当0 时, A称为奇异矩阵( 不可逆矩阵).【定理】 A 可逆0，此时A 11AA.性质：若 AB E 或 BA E B A 1 .若 A可逆 A 1 可逆, 且(A 1) 1 A. 若 A可逆, 0 A可逆, 且( A) 11 A 1 .72370602为反对称矩阵.60对于任意n阶方阵A，则H12(AAT)为对称阵；12（8）伴随矩阵与B为可交换矩阵.（2）因为ATA,BTBAB为反对称矩阵AB(AB)TABBTATABBAABBA6例6已知方阵A01276100001305072,1计算（1）3A2E1*，（2）3A2E*；（31.1A1.若A,B为同阶方阵且均可逆A)1AB可逆且(AB)1B1A1.A1A1.若A可逆A1 2结论(A AnA 1 n2 1AiT1rA A1 2AsA若 A,B 为同阶方阵且均可逆A ) 1AB 可逆且(AB) 1 B 1A 1 .A 1A 1.若 A可逆 AT 可逆, (AT ) 1 (A 1)T .若 A可逆A 11. A k (A 1)k ,(