四）复数集C中的实系数一元二次方程（1）求根公式对于实系数一注意到这里a7当a7且a1且a6时，z为虚数；解得a=中实与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对集上的方程组，进而由此获得原方程的解。提醒：本例求解时易犯的高中数学高考综合复习 专题三十九 复数的概率与运算一、知识网络二、高考考点1.虚数单位 的定义与 的方幂的周期性应用；2.复数的四则运算，特别是除法法则下 化分母”的运算；3.复数的分类，重点是复数为实数的充要条件以及复数是纯虚数的充要条件的应用；4.复数的几何意义：在复平面内复数对应点的位置的判定。三、知识要点（一）复数的概念为了解决解方程的过程中负数不能开方的问题，人们引入了一个新数 ，叫做虚数单位，并规定：（ 1 ）它的平方等于-1，即 ；（2 ）实数可以与它进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加，乘运算率仍然成立。在这样的规定下1定义：（ 1 ）形如 a+bi(a ，bR)的数，叫做复数，通常用字母 z 表示，即： z=a+bi(a ，bR)元二次方程当判别式，即（2）认知当时，实系数一元二次方程的（2005北京卷）若分析：由为纯虚数得故应填2.（200复数相乘，类似两个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把换，原方程的实根为。点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解将复数表示成 a+bi(a，bR)形式，叫做复数的代数形式，其中 a 与 b 分别叫做复数a+bi 的实部与虚部，全体复数构 成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示。（2 ）分类：对于复数 z=a+bi(a ，bR)，当 b=0 时， z=a 是实数；当 b0时， z=a+bi 叫做虚数；其中当 a =0 时且 b0时，叫做纯 虚数。复数（3 ）相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。即如果 a, b ,c d R，那么 a + bi=c+ di a=c, b=d特例： a + bi =0 a=0,b=0提醒：任意两个实数都可以比较大小，但对于任意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，即如果所给两 个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小，而只能说相等或不相等。（4 ）几何意义注意到复数 z=a + bi (a ，bR)与有序实数对（a, b）之间存在的一一对应关系， 将复数 z=a + bi (a ，bR)用点 Z（a, b） 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。认知：在此规定之下，复数与点建立一一对应关系： Z（a, b） 其中点 Z 是复数 z 的一个几何意义。实轴上的点都表示实数； 除了原点之外， 虚轴上的点表示纯虚数（但要注意： 虚数上的长度单位是 1，而不是 ）。（二）复数的运算1复数的加法与减法（ 1）法则：两个复数相加（减）就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）， 即： (a+bi)(c+di)=(ac)+(b d)i.（2）运算律：复数的加法满足交换律与结合律，即对任何2复数的乘法与除法（ 1）乘法乘法法则规定复数的乘法按照如下法则进行：设1D.1分析：原式，应选D。4.（2005湖南卷）复数A.第四象限。解：利用复数的分类与几何意义）（1）由（a+1）(对应点在第二象限，故有由得，即再注意到a0，故题思路为：设出实根代入方程利用两复数相等的充要条件求即两个复数相乘，类似两个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把 换成-1，并且把实部或虚部分别合并。运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何（2 ）除法除法的定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足或操作程序两个复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是1 ）将两个复数的商写成分式形式；2 ）将分子，分母都乘以分母的共轭复数以 化分母”；3 ）将上述所得结果化简整理。即共轭复数1 ）定义：当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数 z 的共轭复数记作 ，即若 z=a+bi(a,b R),则 =a-bi.特例：任一实数的共轭复数为自身：2 ）性质：其一：设 z=a+bi(a,b R)，则有 （此为除法运算时实数化分母的依据）；其二：成-1，并且把实部或虚部分别合并。运算律复数的乘法满足交换：原式，应选A。3.（2005山东卷）A.iB.i（）C.已知虚数z满足，且的对应点在第一象限的角平分线上，求z。解得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利，时，方程的求根公式为时的实系数一元二次方程，尽管求根公式有所变化，但韦达定理仍然适用。事实上，对于复系数一失去判别作用，但韦达定理仍然适用。（显然复数（三）数系的扩充1数系的扩充过程反序观察数系的扩充过程，便得到人们熟悉的数系表点评：数系表中实与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对立，又相互联系和相互依存，充 分展示了数学这一 证的辅助工具和表现形式”，为我们运用辩证思维解决数学问题奠定了天然的基础。（四）复数集 C 中的实系数一元二次方程（ 1 ）求根公式对于实系数一元二次方程当判别式，即（2 ）认知当 时，实系数一元二次方程的两个根为两个共轭虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。 对于元二次方程，四、典例剖析例 1 当实数 a 分别取何值时，复数（ 1） 分别为实数，虚数，纯虚数，零；（2） 在复平面内的对应点位于第四象限。解： 利用复数的分类与几何意义）（ 1）由（a+1）(a6)=0 得 a= 1 或 a=6（此时实部有意义）， 当 a= 1 或 a=6 时， z 为实数；）分别为实数，虚数，纯虚数，零；（2）在复平面内的对应点位于10求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）（2）z的实部0。，时复数z的对应点在复平面的第四象限。点评：必须特别注意值范围。分析：从化简得（2 ）解不等式组由(a+1)(a 6) 0 得 a 1 且 a 6注意到这里 a 7当 a 7 且 a 1 且 a 6 时， z 为虚数；解得 a=4，当 a=4 时， z 为纯虚数；解得 a= 1，当 a= 1 时， z=0。，时复数 z 的对应点在复平面的第四象限。点评：必须特别注意所给复数存在的条件，本题中的 a 7。例 2 已知 x 是实数， y 是纯虚数，且满足 ，求 x 与 y。解：注意到 y 是纯虚数，故设 ，则代入已知等式得整理得根据两复数相等的充要条件得 ，由此解得所求点评： 这里问题的实质是在复数集中解方程， 一般是从设出有关复数的代数形式切入， 利用两复数相等的充要条件， 将所给问题转化为解实数集上的方程组，进而由此获得原方程的解。提醒：本例求解时易犯的错误：由已知等式得注意到这里a7当a7且a1且a6时，z为虚数；解得a=两个根为两个共轭虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。对于已知得x+1=2i.解法一：两边平方得又u除以解法二：注示。（2）分类：对于复数z=a+bi(a，bR)，当b=0求 k 的值。、 能够比较大小，错误原因：未从本质上把握复数的代数形式。例 3 已知复数解：，由 的表示形式得 k=2即所求 k=2点评：(i) 对于两个复数 、 ，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，均为实数。（ii）虚数不能与 0 比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数 z ， 且 R ；且 R 。例 4 若方程 有实根，求实数 m 的值，并求出此实根。解：设 为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得 ，消去 m 得 ，故得当 时得 ，原方程的实根为 ；当 时得 ，原方程的实根为 。点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根代入方程利用两复数相等的充要条件求解。应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象除点评：认知已知，认知目标，而后从已知式入手去构造目标中某部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。即如果a,b,cdR复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是1），代入得例 5 设复数，且，求实数 a，b 的值。解：将，即由两复数相等的定义得 解得 .所求实数 。点评：（ 1 ）条件求值或化简，是先代入再化简为上，还是先化简再代入更好？需要在入手前细细斟酌，果断敲定；（2 ）在复数运算时，记住一些常用结论有益于提高运算效率.如等。例 6 设 z 为纯虚数，且满足 ，求 z解法一：由题意设 ，则代入已知条件得又 ，故得解法二：由 z 为纯虚数得 ，已知等式得整理得根据两复数相等的充要条件得，由此解得所求点评=1+3i，1-3i，3+i，3-i.例11（1）计算（2=（）A.iB.iC.D.2.（2005重庆卷）A.i分析=0时且b0时，叫做纯虚数。复数（3）相等如果两个复数的实又