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58解析a2b(8,5,13),|a2b|8252132258.413解析因四2)AN;1(3)MPNC.1解:(1)P是C1D1的中点,APAAADDP1111aAF,B1FAF.AFEFF,B1F平面AEF.8.如图所示,在四棱锥P-ABCD,PAADA,AB平面PAD.平面PAD的法向量为B(0,2,0)nB0,nB2 ,(3 )向量的数量积: 已知向量a,b ,则| a | |b | cos a,b 作 a b ,即a b |a | |b | cos a,b 。(4 )空间向量数量积的性质: a e | a |cos a,e 。 a b a b 0 。| a |2 a空间向量期末复习知识要点:1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:( 1 )向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2 )空间的两个向量可用同一平面的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OB OA AB a b ; BA OA OB a b ;OP a( R)运算律:加法交换律: a b b a加法结合律: (a b) c a (b c)数乘分配律: (a b) a b 3. 共线向量。( 1 )如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量, a 平行于b ,记作a /b 。当我们说向量a 、b 共线(或a /b )时,表示 a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线,也可能是平行直线。(2)共线向量定理: 空间任意两个向量a 、b( b 0 ),a /b 存在实数 ,使a b 。4. 共面向量( 1 )定义:一般地,能平移到同一平面的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。(2 )共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线, p 与向量a,b 共面的条件是存在实数 x, y使 p xa yb 。5. 空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z ,使 p xa yb zc 。 若三向量a,b,c不共面,我们把a,b,c 叫做空间的一个基底, a,b,c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论:设O, A,B,C 是不共面的四点, 则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数 x, y,z ,使OP xOA yOB zOC 。6. 空间向量的数量积。( 1 )空间向量的夹角及其表示: 已知两非零向量a,b ,在空间任取一点 O ,作OA a,OB b ,则 AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作 a,b ;且规定0 a,b ,显然有 a,b b,a ;若 a,b 则称a 与b 互相垂直,记作: a b 。(2)向量的模:设OA a ,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作: | a |。叫做 a,b 的数量积,记a。(5 )空间向量数量积运算律:,coscosn,n1212练习题:2已知a(2,4,5),b(3,x,y),若ab,则()2,2,4),EF(2,2,2),1BFEF(2)22(2)(4)(2A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2)D(4我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间| | | | |a ba ba (交换律)。1 2 3 1 2 3b a, b ,a1 2 2 3b ) ;3(2)a b (a b ,a1 1 2a b a b a bb a,2 3b ) ;31 2 31 1 2 2a b3 3;1 1 1 2 2 2OA= (x x , y y , z z ) .2 1 2 1 2 1则cos a b, aa b1 1a22222223121a (a ,a ,a ) ,b (b,b,b),(4). 夹角公式 设为 ,两向量 e与 n 的夹角为 ,则有 sin |cos |n|e b( a) b (a b) a ( b) 。a b b a (b c) a b a c (分配律)。7.空间向量的坐标运算:(1). 向量的直角坐标运算设 a (a ,a ,a ) ,b (b ,b ,b ) 则(1) a b (a 1(3) a ( a , a , a ) ( R) ; (4)(2). 设 A(x , y , z ) ,B(x , y , z ) ,则 AB OB(3). 设a (x , y ,z ) ,b (x , y ,z ) ,则 1 1 1 2 2 2| a |2 a a = x2 y2 z2 1 1 1a b a b(b 0) ;a b a b 0 x x y y z z 0 .1 2 1 2 1 21 2 3 1 2 3a b a b2 2 3 3.a b b3(5) 异面直线所成角 cos |cos a,b |=x 21| x x y y z z |1 2 1 2 1 2y 21z 21x 22y 22.z 22(6).直线和平面所成的角的求法如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 的法向量为 n,直线 l 与平面 所成的角|n e|(7). 二面角的求法(1)如图, AB,CD 是二面角 -l -的两个面与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 AB ,CD (2)如图, n1 ,n2 分别是二面角 -l -的两个半平面 , 的法向量,则二面角的大E为AB的中点,E(2,1,0),EF(1,0,1),DC(0,2,0),EFDC),y01所以平面PCD的一个法向量为,0,1.PA平面ABCD,PAAB,又ABADyz.根据已知得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,0,EFCB0,11.11EF理由AB2CD2BC,ABBC,所以四边形OBCD为正方形Ax6,y15 Bx3,y 2n2n n1 2n nCx3,y15 Dx6,y 23已知空间三点 A(0,2,3),B(2,1,6),C(1, 1,5) 若|a| 3,且 a 分别与AB(),C垂 直,则向量 a 为( )A(1,1,1)B(1, 1, 1)C(1,1,1)或( 1, 1, 1)D(1, 1,1)或( 1,1, 1)4若 a(2, 3,5) ,b(3,1, 4),则|a2b|_.5如图所示,1 15.小 n1 ,n2 或 n1,cos cos n ,n1 21 2练习题:1已知 a(3,2,5) ,b(1 ,x, 1)且 a b2,则 x 的值是( ) A 3 B 4 C 5 D 62已知 a(2,4,5) ,b(3 ,x,y),若 ab,则( ) 1515已知正四面体 ABCD 中, AE4AB,CF 4CD ,则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为 _4. 258解析 a2b(8, 5,13),|a2b| 82 5 2 132 258.413解析 因四面体 ABCD 是正四面体,顶点 A 在底面 BCD 的射影为BCD 的垂心,所以有 BC DA,AB CD.设正四面体的棱长为 4,则F E( C F) (AE)0,1BFEF,B1FEF,BFAF(2)222(4)00,1BF,coscosn,n1212练习题:2已知a(2,4,5),b(3,x,y),若ab,则()A(1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1)所以EC),y01所以平面PCD的一个法向量为,0,1.PA平面ABCD,PAAB,又ABADcos 13.2 1 12ABac b.1 1(A)A AB BN a b2 BC2 1 AP1 又 NCCC1 2 BC A 1(A)1 ac112AA 2ca,1 11 a2c2a2bc1b 212a2bc,10 C E F A04 1 cos 120 1 4 cos 120 4,BFDE 42 122 4 1 cos 60 13,所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 的余弦值为:46.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 A 1(A) a,AB b,AD c,M,N, P 分别是 AA1 ,BC ,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:(1) AP ;(2) A N ; 1(3) MP NC . 1解: (1) P 是 C1D1 的中点,AP AA AD D P1 1 1
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