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3】如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点)不存在.0图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在,而右案:D3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是yxyAk=0,1,2,)22k1解析:由cos=0,得=k0 0x x3.若 f(x)、 g(x)都在点 x0 处连续,则 f(x) g(x) ,f(x) g(x) , (g(x)D.x=0 和 x= (k=0,1,2,) 2 x x 2 2k 113.4 函数的连续性及极限的应用知识梳理1.函数的连续性.一般地,函数 f(x)在点x=x0 处连续必须满足下面三个条件:( 1 )函数 f(x)在点 x=x0 处有定义;(2) lim f(x)存在;(3) lim f(x) =f(x0 ). x x x x如果函数 y=f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,而且 lim f(x) =f(x0 ),就说函数 f(x)在0点 x0 处连续.2.如果 f(x)是闭区间a,b上的连续函数,那么 f(x)在闭区间a,b上有最大值 和最小值.f (x)g(x)0 )也在点 x0 处连续.若 u(x)在点 x0 处连续,且 f(u)在 u0=u(x0 )处连续,则复合函数 fu(x)在点 x0 处也连续. 特别提示( 1 )连续必有极限,有极限未必连续.(2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换 顺序的.点击双基1.f(x)在 x=x0 处连续是 f(x)在 x=x0 处有定义的_条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要解析: f(x)在 x=x0 处有定义不一定连续.答案: A2.f(x) = cosxcosx的不连续点为A.x=0B.x=22k1(k=0,1,2,)C.x=0 和 x=2k(k=0,1,2,)22k 1解析:由 cos =0,得 =k+ (kZ), x= (k Z) .又 x=0 也不是连续点,故选 D答案: D3.下列图象表示的函数在 x=x0 处连续的是y(x,y),则x=aar2+ar4=1(r2)1a2圆O1外切,且与AB、BC相切,圆On+1与圆On外切,的极限位置.(2)可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.解性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【例Oxx0O0xO xx 3a x0), 0),x 04.四个函数:f(x) = ;g(x) =sinx;f(x) =|x|;f(x) =ax3+bx2+cx+d.其中在 x=0x yxOy yxyA.答案: AB.0C.x O x0 xD.1x处连续的函数是_. (把你认为正确的代号都填上)答案:典例剖析1 (x 0),【例 1】 ( 1 )讨论函数 f(x) = 0 (x 0), 在点x 0处的连续性;1 (x 0)(2 )讨论函数 f(x) = 在区间0,3上的连续性.剖析:( 1 )需判断 lim f(x) = lim f(x) =f(0).x 0 x 0(2 )需判断 f(x)在(0,3)上的连续性及在 x=0 处右连续,在 x=3 处左连续.解:( 1) lim f(x) = 1, lim f(x) =1,x 0 x 0lim f(x) lim f(x) ,x 0 x 0 limf(x)不存在. f(x)在 x=0 处不连续.x 0(2)f(x)在 x=3 处无定义,f(x)在 x=3 处不连续.f(x)在区间0,3上不连续.ex 【例 2】 设 f(x) =解: lim f(x) = lim (a+x)x 0 x 0(x (x=a,当 a 为何值时,函数 f(x)是连续的.lim f(x) = lim ex=1,而 f( 0)=a,故当 a=1 时,x 0lim f(x) =f(0),x 0即说明函数 f(x)在 x=0 处连续,而在 x0 时,f(x)显然连续,于是我们可判断当 a=1 时,f(x)在(,+)内是连续的.评述:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【例 3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点, 然后采用如下方法进行:从原点出发,在 x 轴上向正方向前进 a(a0 )个单位 后,向左转90,前进a r( 0r 1个单位,再向左转90,又前进a r2个单位, , 如此连续下去.=xx1的不连续点.x1x解:易求f(x)的定义域为x|x9)n1a1(nN*),所以(a1+a2+an)=+(kZ),x=(kZ).又x=0也不是连续点,故选D答S=limb()2+b()2+b=limabn=lia,a ar1 r 2 1 r 2,a a 22 421 x即行动的最终目的地在以( ,0)为圆心, 为半径的圆上. 2 2( 1 )若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动 与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2 )若其中的 r 为变量,且 0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? 剖析:( 1 )小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置.(2 )可先求最终目的地关于 r 的参数形式的方程.解:( 1 )由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为 Q(x,y) ,则x=aar2+ar4 = = 1 ( r 2 ) 1ar2y=ar ar3+ar5 =ar1 r 2 ,大本营应在点(, )附近去寻找小分队.x (2)由ya1 r 2ar1 r 2消去 r 得( x )2+y2= (其中 xa ,y0),a a 闯关训练夯实基础x21.函数 f(x) = x2x2x 3 x 11 x 2,则有2 x 2,A.f(x)在 x=1 处不连续B.f(x)在 x=2 处不连续C.f(x)在 x=1 和 x=2 处不连续D.f(x)处处连续解析: lim f(x) =0, lim f(x) =1,x 1 x 1f(x)在 x=1 处不连续.答案: A2.若 f(x)在定义域a,b上有定义,则在该区间上A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确解析:有定义不一定连续.答案: Cx3.已知函数 f(x) =x为有理数, x为无理数,函数 f(x)在哪点连续A.处处连续B.x=1:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q(m/s),那么第二,第三,第n+1777过的路程为h0mab=ab.On1ann培养能力116.求y=f(x)xx cos x1 2n n n12 22 (n 1)23(n 1) n (2n 1) 1n 6n3 3y3n)2 2 12解析: lim f(x) = lim f(x) =f( ).x xf(x) = 在 0,1 上连续;若 f(x)是(a,b)内的连续函数,则 f(x)在(a,b)内有最大值和最小值;2sin2x25.抛物线 y=b( )2、x 轴及直线 AB:x=a 围成了如图( 1 )的阴影部分,AB 与 x 轴交于annC.x=0 D.x=11 1 22 2答案: D4.有以下四个命题:1 lim =4;若 f(x) =xx 1(x 0), (x 0).则 limf(x) =0.x 0其中正确命题的序号是_. (请把你认为正确命题的序号都填上) 答案:xa点 A,把线段 OA 分成 n 等份,作以 为底的内接矩形如图( 2),阴影部分的面积为 S 等于这些内接矩形面积之和当 n 时的极限值,求 S.解: S= limb ( )2+b ( )2+b= lim abn= lim ab= ab.yBOA x O A( ( )2+ +(bx(n 1 a n n极限不存在,也属于limf(x)不存在0的情况.图丙表示的是x)在点x0处的极限(值)与f(x)在点x0处的函数值f(x(x)在点x0处连续是依据f(x)在点x0处的极限来定义的,nN*).(1)证明an是等比数列;(2)求lim(a1 1n n e31n1n1 1n n1 1n2 nn则 r1= 2 tan30
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