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2022安徽省宣城市临溪高级职业中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5 分,共 50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若 曲 线,出=*在*-2 处的切线与直线皿+2尸+1=互相垂直,则实数0等于()A.-2 B.-1 C.1 D.2参考答案:D【分析】求出函数/(目=正*在 处 的 导 数 值,这个导数值即函数图像在该点处切线的斜率,然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数a。【详解】由题可得:r(2)-1,二 曲 线 功 MX3*在*一歹处的切线的斜率为1,rV 曲线/(K)=xQn/在X 一菱处的切线与直线a +=0 互相垂直,且直线a皿+2/1=0 的 斜 率 为 弓-2,解得:a=2;故答案选D.【点睛】本题考查导数的几何意义,两直线垂直的条件,属于基础题。2.如图,正方体A B C D-AiBxClDl)则下列四个命题:F 在直线3 c l上运动时,三棱锥力-4 尸0 的体积不变;尸在直线3 c l上运动时,直线/P 与平面4 C 4 所成角的大小不变;F在直线3 c l上运动时,二面角尸一皿一 的大小不变;M是平面0上到点D和C距离相等的点,则M点的轨迹是过4点的直线其中真命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4参考答案:C略3.不等式卜一 2|lf D,参考答案:C,/a b :,1 1A a V b,故 A,B 成立当 a=4,b=2 时,ab ba 1 6,故 C 错误;logba logbb=l=logaa logab,故 D 成立,故选:c.8.(5分)(2 0 1 4秋?济宁期末)双曲线可 逋口的渐近线方程为()4 3 5 4A.y=3 X B.y=4 X C.y二3、D.y=5 X参考答案:A考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由双曲线a 2-,b 9Z=l的渐近线方程为y=一 一a x,求出a,b 即可得到渐近线方程.2 2x _ y解答:解:双曲线可 正 口 的 a=3,b=4,+也由于渐近线方程为y=一 ax,4即为y=豆x.故选A.点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.9.将一个长与宽不等的长方形,沿对角线分成四个区域,如图所示涂上四种颜色,中间装个指针,使其可以自由转动,对指针停留的可能性下列说法正确的是()B.蓝白区域大C.红黄区域大D.由指针转动圈数决定参考答案:B1().在AABC中,4、B、C 分 别 为 、b、c 所对的角,若a、b、c 成等差数列,则B的范围是()匹 X X 至A.0B4 B,OB 3 C,0B2 D.2 VB 兀参考答案:B略二、填空题:本大题共7 小题,每小题4 分,共 28分a1 1.已知1 =Z-则 否 的 取 值 范 围 是(答 案 写 成 区 间 或 集合).参考答案:(x4)1试题分析:由题意得,i 1 _2 _i因为1 0Z-2。一1,所以一 0.占 C Q14.若双曲线a i 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4,则该双曲线的离心率为.参考答案:273315.观察下列等式:(1+1)=2X1(2+1)(2+2)=22X1X3(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5照此规律,第 n 个等式可为.参考答案:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2?1?3?5-?(2n-1)【考点】归纳推理.【分析】通过观察给出的前三个等式的项数,开始值和结束值,即可归纳得到第n 个等式.【解答】解:题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项,第二个等式的左边含有两项相乘,第三个等式的左边含有三项相乘,由此归纳第n 个等式的左边含有n 项相乘,由括号内数的特点归纳第n 个等式的左边应为:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n),每个等式的右边都是2 的几次幕乘以从1 开始几个相邻奇数乘积的形式,且 2 的指数与奇数的个数等于左边的括号数,由此可知第n 个等式的右边为2?1?3?5(2n-1).所以第 n 个等式可为(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n?l?3?5-(2 n-l).故答案为(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2?1?3?5-(2 n-l).16.过点的直线交直线L3x+2尸+6=于点Q,则点。分有向线段 慈=4函,则2的值为.参考答案:3再+2乃+63叼+2为+6略a-j17.若复 数 用 为实数0 为虚数单位),则实数”=.参考答案:-1略三、解答题:本大题共5 小题,共 72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本题满分1()分)已知抛物线的方程为丁=41,直线/过定点p(一 2,1),斜率为k.(1)求抛物线的焦点F 到直线x+2=0的距离;(2)若直线/与抛物线有公共点,求 k 的取值范围.参考答案:解:(1)抛物线9=4 x 的焦点F的坐标为(1,(),(1分)于是F 到直线x+2=0的距离为口一(-2)|=3.(2 分)直线/的方程为:=H +2+l(3分)y =Ax+2Jt+l由方程组lV=4 x 可得b _”+4(%+1)=0(5 分)2 当先=0时,由得y=l.把y=l代 入/=4x得*=,,(-.1)这时直线/与抛物线有一个公共点4(6分)kwO当上H 0时,由题意得A=-16(%、七-1)之 (8分)-1 4上0,或0 上42解得 2 (9分)综上所述,当一 5时直线/与抛物线有公共点(1 0分)略1 9.(1 2分)某校从高二年级学生中随机抽取4 0名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分1 0 0分,成绩均为不低于4 0分的整数)分成六段:4 0,50),1 50,6 0).9 0,1 0 0 后得到如图的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高二年级共有学生6 4 0人,试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于4 0分的人数;(3)若从样本中随机选取数学成绩在 4 0,50)与 9 0,1 0 0 两个分数段内的两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于1 0的概率.频率参考答案:【考点】频率分布直方图.【分析】(I)根据频率和为1,列出方程求出a 的值;(2)根据频率分布直方图,计算成绩不低于6 0 分的频率与频数即可;(3)计算成绩在 50,6 0)和 9 0,1 0 0 内的人数,利用列举法求出基本事件数,计算对应的概率值.【解答】解:(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以 1 0 x (0.0 0 5+0.0 1 +0.0 2+a+0.0 2 5+0.0 1)=1;(2 分)解得 a=0.0 3;.(2)根据频率分布直方图,成绩不低于6 0 分的频率为l-1 0 x (0.0 5+0.0 1)=0.8 5,.由于该校高二年级共有学生6 4 0 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高二年级数学成绩不低于6 0 分的人数约为6 4 0 x 0.8 5=54 4 (人);.(6 分)(如果没有:”利用样本估计总体的思想,可估计”则 扣 1 分)(3)成绩在 50,6 0)分数段内的人数为4 0 x 0.0 5=2 (人),.(7 分)成绩在 9 0,1 0 0 分数段内的人数为4 0 x 0.1=4 (人),.(8 分)若从这6名学生中随机抽取2 人,则总的取法有Ch15;.(9 分)如果两名学生的数学成绩都在 4 0,50)分数段内或都在 9 0,1 0 0 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于1 0;如果一个成绩在 4 0,50)分数段内,另一个成绩在 9 0,1 0 0 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于1 0;(1 0 分)则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值大于1 0 分的取法数为C2,C4=8;.(1 1 分)故所求概率为OP(M)=l5.(1 2 分)【点评】本题考查了频率分布直方图以及用列举法求古典概型的概率问题,是综合性题目.20.过抛物线V=4 X的焦点F的一条直线,与这条抛物线相交于A(占,】)、B(2,乃)两 点,求*1勺+乂 2的值。参考答案:解 析:当k不存在时,直 线 方 程 为X=I,此时=/2=_ 4,所 以XX?+丁 必=3。当k存 在 时,由 题 可 得F(l,0),设 直 线 方 程 为y=kx-k,代入抛物线方程消去y可 得,+4)K+2=0,.X/2 =I,再把直线方程代入抛物线方程消去x可 得,4-4尸-4无=0,;J M=-4,.产 用+必=_321.以直角坐标系的原点0为极点,上轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单x=24-/cosa位.已知直线I的参数方程为(。为参数,0 a 0时,,皿 。=4 8 8可化为0 cos。,x=pnO由=得V =经检验,极点的直角坐标(0,0)也满足此式.所以曲线。的直角坐标方程为V -41K=2H casa(II)将=l+1*a 代入/=4工,得立 a,923。a 4ros妙 一7二0,7|4*I=-5所以 SIB a.,.2 3 H 5 网 -3gn a =a.CL sz-tsn a=tm a=所以 4,6或 6,即 3或 3.22.已知圆C的圆心坐标(1,1),直 线1:x+y=l被 圆C截得弦长为(1)求圆C的方程;(II)从圆C外一点p (2,3)向圆引切线,求切线方程.参考答案:【考点】直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系.【分析】(I)设圆C的半径为r,根据圆心坐标写出圆的标准方程,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线1的距离即为弦心距,然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点,由弦长的一半,圆心距及半径构成的直角三角形,根据勾股定理列出关于r的方程,求出方程的解即可得到r的值,从而确定圆C的方程;(II)当切线方程的斜率不存在时,显然得到x=2为圆的切线;当切线方程的斜率存在时,设出切线的斜率为k,由P的坐标和k写出切线方程,利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d,根据直线与圆相切,得到d等于圆的半径,列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,从而确定出切线的方程,综上,得到所求圆的两条切线方程.【解答】解:(I)设圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=r211+1 1 I 近因为圆心C到直线1的距离:d=V 2=*,圆的方程为:(x-1)?+(y-1)2=1;(II)当切线的斜率不存在时,显然x=2为圆的一条切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为 y-3=k (x-2),即:k x -y-2k+3=0Ik-2|I J由Mi+k 2=1,解得 k=W,3 _所以切线方程为y-3=4(x-2),即3x-4y+6=0综上:所求的切线方程为x=2和3x-4y=6=0.
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