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高考数学基础知识、常见结论详解数列本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前项和,则其通项为若满足则通项公式可写成。(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容。(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标。 函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解。分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为及;已知求时,也要进行分类;整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解。(4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决。解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的,特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错。一、基本概念:1、 数列的定义及表示方法;2、 数列的项与项数;3、 有穷数列与无穷数列;4、 递增(减)、摆动、循环数列;5、 数列an的通项公式an;6、 数列的前n项和公式Sn;7、 等差数列、公差d、等差数列的结构;8、 等比数列、公比q、等比数列的结构; 二、基本公式:9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。11、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=当d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10),Sn=na1是关于n的正比例式。12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项,an0)13、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时,Sn= Sn=三、有关等差、等比数列的结论14、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。15、等差数列an中,若m+n=p+q,则16、等比数列an中,若m+n=p+q,则17、等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。18、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。19、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列anbn、仍为等比数列。20、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。21、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,a+d,a+3d23、三个数成等比的设法:,a,aq;四个数成等比的错误设法:, ,aq,aq3 (为什么?)24、an为等差数列,则 (c0)是等比数列。25、bn(bn0)是等比数列,则logcbn (c0且c1) 是等差数列。26. 在等差数列中:(1)若项数为,则 (2)若数为则, , 27. 在等比数列中:(1)若项数为,则 (2)若数为则,四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。28、分组法求数列的和:如an=2n+3n 29、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n30、裂项法求和:如an=31、倒序相加法求和:如an=32、求数列an的最大、最小项的方法: an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=33、在等差数列中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解:(1)当0,d0时,满足 的项数m使得取最大值。(2)当0时,满足 的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
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