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11.3 几何概型【考纲要求】1、了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 2、了解几何概型的意义.【基础知识】1、几何概型(1)定义:如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积等)成比例,则称这样的概率模型为几何概型。(2)特点:结果的无限性 每个结果发生的等可能性(3)几何概型的解题步骤首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题(事件的结果与一个变量有关就是一维的问题,与两个变量有关就是二维的问题,与三个变量有关就是三维的问题);接着,如果是一维的问题,先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度(角度、弧长等),最后代公式;如果是二维、三维的问题,先设出二维或三维变量,再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件,作出两个区域,最后计算两个区域的面积或体积代公式。2、求事件的概率计算概率首先是读题审题,然后是概率定性(六大概型:古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件),再代公式。3、温馨提示求几何概型时,注意首先寻找到一些重要的临界位置,再解答。一般与线性规划知识有联系。【例题精讲】例1 在区间0,1上任意取两个实数a,b,则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为_解析:f(x)x2a,故f(x)在x1,1上单调递增,又因为函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点,即有f(1)f(1)0成立,即(ab)(ab)0,可化为或由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域,再由几何概型可以知道,函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a0,a1,b0,b1围成的正方形的面积,计算可得面积之比为.例2 将长为1的棒任意地折成三段,求:三段的长度都不超过a(a1)的概率解:设第一段的长度为x,第二段的长度为y,第三段的长度为1xy,则基本事件组所对应的几何区域可表示为(x,y) |0x1,0y1,0xy1,此区域面积为.事件“三段的长度都不超过a(a1)”所对应的几何区域可表示为A(x,y)|(x,y),xa,ya,1xya即图中六边形区域,此区域面积:当a时,为(3a1)2/2,此时事件“三段的长度都不超过a(a1)”的概率为P(3a1)2;当a1时,为.此时事件“三段的长度都不超过a(a1)”的概率为P13(1a)2. 11.3 几何概型强化训练【基础精练】1.如图所示,在一个边长分别为a,b(ab0)的矩形内画一个梯形,梯形的上、下底边分别为,且高为b.现向该矩形内随机投一点,则该点落在梯形内部的概率是 ()A.B. C. D.2.如图,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A,连接AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为 ()A. B. C. D.3在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形,则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为 ()A. B. C. D.4在长为1的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于的概率为 ()A. B. C. D.5.如图,一个矩形的长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约为 ()A. B. C. D.6.如图,有一圆盘,其中阴影部分的圆心角为45,向圆盘内投镖,如果某人每次都投入圆盘内,那么他投中阴影部分的概率为 () A. B. C. D.7已知平面区域U(x,y)|xy6,x0,y0,A(x,y)|x4,y0,x2y0,若向区域U内随机投一点P,则点P落入区域A的概率为_8向面积为9的ABC内任投一点P,那么PBC的面积小于3的概率是_9广告法对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为,那么该台每小时约有_分钟的广告10设不等式组表示的区域为A,不等式组表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x,y),求点(x,y)B的概率;(2)若x,y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域B中的概率11已知复数zxyi(x,yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4,3,2,0,Q0,1,2,从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率;(2)设x0,3,y0,4,求点M落在不等式组:所表示的平面区域内的概率 【拓展提高】已知关于x的一次函数ymxn.(1)设集合P2,1,1,2,3和Q2,3,分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,求函数ymxn是增函数的概率;(2)实数m,n满足条件,求函数ymxn的图象经过一、二、三象限的概率【基础精练参考答案】1.C【解析】:S梯形()bab,S矩形ab.P.2.C【解析】:当AA的长度等于半径长度时,AOA=,由圆的对称性及几何概型得P=3.C【解析】:正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间,所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间线段AB的长度为12 cm,则所求概率为.4.C【解析】:设任取两点所表示的数分别为x,y,则0x1且0y1.由题意知|x-y|,所以所求概率为P=5.A【解析】:据题意知:,S阴.6.A【解析】:P.7. 解析】:依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如 图),由图可知SU=18,SA=4,则点P落入区域A的概率为.8. 【解析】:如图,由题意,PBC的面积小于3,则点P应落在梯形BCED 内,SADE=4,S梯形BCED=5,P=.9.6【解析】:60(1)6分钟 10.解:(1)设集合A中的点(x, y)B为事件M,区域A的面积为S136,区域B的面积为S218,P(M).(2)设点(x,y)在集合B中为事件N,甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个,其中在集合B中的点有21个,故P(N).11.解:(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个:4,4i,42i,3,3i,32i,2,2i,22i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2个:i,2i,所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域(x,y)|内,属于几何概型该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域,面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为(x,y)|其图形如图中的三角形OAD(阴影部分) 又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0,),三角形OAD的面积为S1=所求事件的概率为P=【拓展提高参考答案】 (2)m、n满足条件的区域如图所示:要使函数的图象过一、二、三象限,则m0,n0,故使函数图象过一、二、三象限的(m,n)的区域为第一象限的阴影部分,所求事件的概率为P=.
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