棱柱、棱锥和棱台的结构特征感悟课标新理念大金字塔之谜墨西哥、希腊、苏丹等国都有金字塔，但名声最为显赫的是埃及的金字塔。 埃及是世 界上历史最悠久的文明古国之一金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及国家的象征，是 埃及人民的骄傲。金字塔，阿拉伯文意为“方锥体”，它是一种方底、尖顶的石砌建筑物，是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓。 它既不是金子做的，也不是我们通常所见的宝塔形，而是由于它规模宏大，从四面看都呈等腰三角形，很像汉语中的“ 金”字，故中文形象地把它译为“金字塔”。埃及迄今发现的金字塔共约八十座，其中最大的是以高耸巍峨而被称为古代世界七大奇迹之首的“胡夫大金字塔” 在 。在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，“胡夫大金字塔”一直是世界上最高的建筑物。据一位名叫彼得的英国考古学者估计，“ 胡夫大金字塔”大约由 230万块石块砌成， 外层石块约115000块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大，而大的甚至超过15吨。 假如把这些石块凿成平均一立方英尺的小块，把它们沿赤道排成一行，其长度相当于 赤道周长的三分之二。在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多， 每块又如此之重的巨石，垒成如此宏伟的大金字塔？这真是一个十分难解的谜课程学习目标课程目标目标重点：多面体、棱柱、棱锥和棱台的定义、性质及它们之间的关系，空间与平面问 题的相互转化；目标难点：几种概念相近的几何体（ 如平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱 柱、正方体等）的特征、性质的区别；学法关键1结合模型、动态的或静态的直观图，了解、认识和研究柱、锥、台等几何体，使得对 概念和性质的理解与图形密切地结合起来；2几何体的“特征性质”是指某种几何体能够区别于其他几何体的本质属性，这样的 性质可以作为这种几何体的定义， 正是由于定义是几何体的特征性质，因而定义发挥着 判定定理和性质定理的双重作用 因此明确各种几何体的定义是十分重要的。研习教材重难点研习点：一多面体及相关概念1多面体：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体 如下图中的几何体都是多面体2相关概念：（1）围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； （2）相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；（3）棱和棱的公共点叫做多面体的顶点；（4）连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线；（5）凸、凹多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体，其他的多面体叫做凹多面体；（6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面，3多面体的分类：（1）按照多面体是否在任一面的同一侧分为凸多面体和凹多面体；（2）按照围成多面体的面的个数分为四面体、五面体、六面体等。【联想质疑】每一个多面体都有对角线吗？通过观察上面给出的生活中常见的一些多面体图形，我们可以看出，并不是所有的 多面体都有对角线的。如下图中的两个多面体就没有对角线如果多面体有对角线，就不仅仅有一条对角线，如下图中的多面体研习点2 棱柱及相关概念1定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且其余每相邻两个面的交线都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱。 如下图中的图形都是棱柱2相关概念：（1）棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；（2）其余各面叫做棱柱的侧面；（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；（5）棱柱中不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线 ；（6）如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离，叫做棱柱的高。【联想质疑】如何理解棱柱？1从运动的观点来看，棱柱可以看成是一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所经过的空间部分$，如果多边形水平放置，则移动后的多边形也水平放置。2棱柱的主要结构特征：两个底面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，各侧面是平行四边形$。通俗地讲，没有第一个特征，两头不一样齐；若没有第二个特征，上下不一样粗， 因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。3但是注意“ 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边 形”的几何体未必是棱柱。 如图所示的几何体虽有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱。4棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等（见图）（2）按侧棱与底面的关系分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。5棱柱的表示：（1）用表示各顶点的字母表示棱柱：如棱柱ABCDA1B1C1D1；（2）用一条对角线端点的两个字母来表示，如棱柱AC1.6特殊的四棱柱：1底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；2侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体；3底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；4棱长都相等的长方体叫做正方体.研习点3 棱锥及相关概念1定义：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围 成的几何体叫做棱锥，如下图所示。2相关概念：（1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，如侧面 PAB；（2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，如顶点P、A、B、C 等；（3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，如侧棱PA、PB等；（4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面，如底面ABC、ABCD等；（5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高，如图2中的PO就是四棱锥的高；（6）棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面，如对角面PAC（注：三棱锥没有对角面）【联想质疑】如何理解棱锥？1棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征：有一个面是多边形；其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。2棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体未必是棱锥!。如右图所示，此多面体有一个面是四边形，其余各面是三角形，但它不是棱锥! 3棱锥的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体!（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置， 它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥!4正棱锥的性质：（1）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形；（2）等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高!5棱锥的表示：（1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥PABC，四棱锥PABCD.（2）用对角面表示：如右图中的四棱锥可以用PAC表示!研习点4棱台及相关概念1定义：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台.2相关概念：（1）棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；（2）棱台的侧面：棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的侧面。（3）棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱。（4）棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高。3棱台的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等；（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。4正棱台的性质：（1）各侧棱相等；（2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；（3）正棱台的斜高相等。5棱台的表示：棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如右图中的棱台， 可以记 作 棱 台ABCDABCD，或 记 作 棱 台AC，下底面为ABCD，上底面为ABCD，棱台的高为OO.【联想发散】棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用 一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，要注意的是棱台的各条侧棱延长后，将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥( 在学习时要注意棱柱、棱锥、棱台这三种多面体之间的联系)。探究解题新思路基础拓展型题型1：概念判断题例1设有四个命题： 底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体。以上四个命题中，真命题的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4【探究】本题主要考查棱柱的概念及性质，注意各种特殊的棱柱之间的关系。【研析】不正确。 除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体。 不正确。 当底面是菱形时就不是正方体。 不正确。 是两条侧棱垂直于底面一边而非垂直于底面，故不一定是直平行六面体。 正确。 因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体。 故而选A.【反思领悟】 熟练地掌握棱柱和棱锥的概念，才能准确地应对这类概念题，从而判断出棱柱和棱锥中的线面关系。【拓展变式】1棱台不具有的性质是( C )（A）两底面相似 （B）侧面都是梯形 （C）侧棱长都相等 （D）侧棱延长后交于一点 小结：此类题目较易，但也要熟记教材中的相关概念内容，把四棱柱、平行六面体、 直平行六面体、直四棱柱、长方体、正方体等各几何体间的关系搞清楚，把握它们的特征 性质才能够准确作答。题型2考查棱柱间的关系例2已知集合 A=正方体，B=长方体，C=正四棱柱，D=平行六面体，E=四棱柱，F=直平行六面体，则（ B ） （A） （B） （C） （D）它们之间不都存在包含关系 【探究】 此题考查几种特殊的棱柱之间的关系。【研析】几种常见棱柱间的关系如下图所示：【反思领悟】棱柱有几种分类方法，这些几何体在每一分类方法中都有其名称，容易混淆。如正四棱柱按底面多边形的边数分类，它是四棱柱；按侧棱与底面是否垂直分类，它是直四棱柱；按平行六面体和非平行六面体来分，它是底面是正方形的直平行六面体# 因此，要准确把握这些几何体的特征。2. 有四个命题：各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥，底面是正多边形的棱锥是正棱锥；棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。其中正确的命题有 题型3有关计算问题例3正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O和O1，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接OO1，O1E1，OE，EE1，O1B1，OB，则OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为cm例4如图正四棱锥PABCD的底面边长为a，高为h，求它的侧棱PA的长和斜高PE【研析】! 正四棱锥的底面边长为a, 即此正四棱锥的侧棱长为斜高为【反思领悟】对于正四棱锥的计算问题，解决的关键是寻找到相应的直角三角形。把要计算的量转化到同一个直角三角形中进行计算。拓展变式3已知正四面体PABC的棱长为4，用一平行于