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青岛二中2023-2024学年高二第一学期期中考试数学试题时间:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 直线关于x轴对称的直线方程为( )A B. C. D. 2. 两条平行直线:与:之间距离是( )A. 0B. 2C. 1D. 3. 若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合,则的值为( )A. 4B. C. D. 24. 已知双曲线的离心率为,C的一条渐近线与圆交于A,B两点,则( )A. B. C. D. 5. 如果直线与曲线有两个不同的公共点,那么实数的取值范围是( )A B. C. D. 6. 已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为 A. 1B. 1C. 1D. 17 已知直线与抛物线相交于A,B两点,若,则( )A. 2B. C. D. 8. 已知椭圆:左、右焦点分别是,是椭圆上的动点,和分别是的内心和重心,若与轴平行,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知方程,则下列说法中正确的有( )A. 方程可表示圆B. 当时,方程表示焦点在轴上的椭圆C. 当时,方程表示焦点在轴上的双曲线D. 当方程表示椭圆或双曲线时,焦距均为1010. 已知圆与圆,下列说法正确的是( )A. 与的公切线恰有4条B. 与相交弦的方程为C. 与相交弦的弦长为D. 若,分别是圆,上的动点,则11. 已知双曲线的左右顶点为,左右焦点为,直线与双曲线的左右两支分别交于,两点,则( )A. 若,则的面积为B. 直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,则C. 若的斜率的范围为,则的斜率的范围为D. 存在直线的方程为,使得弦的中点坐标为12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2,过焦点作直线与抛物线交于、两点,与轴交于点,过点作抛物线的切线与准线交于点,连接,若,则( )A. B. C. 为钝角D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 抛物线的准线方程为_.14. 若直线与圆相交于,两点,且(其中为原点),则的值为_.15. 一动圆与圆外切,同时与圆内切,则动圆圆心的轨迹方程为_.16. 如图,过双曲线的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,为线段的中点,为坐标原点,若,则双曲线的离心率为_. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知的三个顶点的坐标为,求(1)求的面积;(2)求的外接圆的标准方程.18. 已知直线和圆,且直线和圆交于两点.(1)当为何值时,截得的弦长为4;(2)若,求的取值范围.19. 已知为坐标原点,直线,的斜率之积为4,记动点的轨迹为.(1)求的方程;(2)直线经过点,与交于,两点,线段中点在第一象限,且纵坐标为4,求.20. 已知动圆过定点,且截轴所得弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)过点的直线与轨迹交于A,两点,若为轨迹的焦点,且满足,求的值.21. 椭圆与双曲线有相同的焦点,且过. (1)求椭圆的方程;(2)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为,当动点在定直线上运动时,直线,分别交椭圆于两点,.(i)证明:点B在以为直径的圆内;(ii)求四边形面积的最大值.22. 已知点在双曲线上(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点,其中O为坐标原点,求证:的面积是定值;(2)已知点,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点,在线段上取异于点的点,满足,证明:点恒在一条定直线上青岛二中2023-2024学年第一学期期中考试高二试题(数学)命题人:薛海涛 孙云涛 曹成俊 刘硕 审核人:董天龙时间:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 直线关于x轴对称的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两直线斜率之间的关系,以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得.【详解】直线的斜率为2,与x轴交于点,则与关于x轴对称的直线斜率为,并过点,所以,所求方程为,即.故选:D2. 两条平行直线:与:之间的距离是( )A. 0B. 2C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行直线间的距离公式求解即可.【详解】直线:即,故与:的距离为.故选:D3. 若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合,则的值为( )A. 4B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据长轴端点确定焦点,再根据的关系可求得的值.【详解】椭圆的长轴端点为,所以双曲线的焦点为,故.故选:D.4. 已知双曲线的离心率为,C的一条渐近线与圆交于A,B两点,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程,再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由,则,解得,所以双曲线的一条渐近线不妨取,则圆心到渐近线的距离,所以弦长.故选:D5. 如果直线与曲线有两个不同的公共点,那么实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用数形结合求出直线与半圆相切时的值,以及直线与半圆有两个交点的临界位置时的的值,进而可以求解【详解】由可得:,则该曲线为以原点为圆心,以1为半径的轴上方的半圆,直线和曲线的图象如图所示:当直线与圆相切于点时满足:,解得,当直线与半圆相交于两点时,把代入直线方程可得:,则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时,的取值范围为:,故选:B6. 已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为 A. 1B. 1C. 1D. 1【答案】D【解析】【详解】设、,所以,运用点差法,所以直线的斜率为,设直线方程为,联立直线与椭圆的方程,所以;又因为,解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查学生的化归与转化能力.7 已知直线与抛物线相交于A,B两点,若,则( )A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据焦半径公式,联立方程即可求解.【详解】由抛物线可得,所以,故,故,所以故选:B8. 已知椭圆:的左、右焦点分别是,是椭圆上的动点,和分别是的内心和重心,若与轴平行,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接PO,则三点共线,延长交轴于点,则由平行于轴得,从而可得,根据三角形内心的性质可得,从而可得离心率【详解】是的中点,G是的重心,三点共线,延长交轴于点,则由平行于轴知,则,设内切圆半径为r,则,椭圆的离心率为故选:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知方程,则下列说法中正确的有( )A 方程可表示圆B. 当时,方程表示焦点在轴上的椭圆C. 当时,方程表示焦点在轴上的双曲线D. 当方程表示椭圆或双曲线时,焦距均为10【答案】BCD【解析】【分析】根据方程的形式,结合圆,椭圆和双曲线的形式,即可求解.【详解】对于A,当方程可表示圆时,无解,故A错误;对于B,当时,表示焦点在轴上的椭圆,故B正确;;对于C,当时,表示焦点在x轴上的双曲线,故C正确;对于D,当方程表示双曲线时,得;由C可知,焦距为10,当方程表示椭圆时,则,焦距为10,所以焦距均为10,故D正确.故选:BCD10. 已知圆与圆,下列说法正确的是( )A. 与的公切线恰有4条B. 与相交弦的方程为C. 与相交弦的弦长为D. 若,分别是圆,上的动点,则【答案】BCD【解析】【分析】求出圆心距,判断两圆位置关系即可判断A;两圆方程相减消去二次项可判断B;利用点到直线的距离公式求到相交弦的距离,然后由弦长公式求弦长可判断C;观察图形可知,可判断D.【详解】由已知得圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,因为,故两圆相交,所以与的公切线恰有2条,故A错误;两圆方程做差可得与相交弦的方程为,故B正确;由点到直线的距离公式得到相交弦的距离为,故相交弦的弦长为,C正确;.由图可知,故D正确.故选:BCD11. 已知双曲线左右顶点为,左右焦点为,直线与双曲线的左右两支分别交于,两点,则( )A. 若,则的面积为B. 直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,则C. 若的斜率的范围为,则的斜率的范围为D. 存在直线的方程为,使得弦的中点坐标为【答案】ABC【解析】【分析】对于A:利用余弦定理及双曲线的定义求出,进而可得三角形的面积;对于B:设,与直线联立,发现均与无关,进一步分析可得;对于C:求出为定值,进而可得的斜率的范围;对于D:将直线方程和双曲线方程联立,通过判别式可得结果.【详解】在双曲线中,对于A:在双曲线的焦点三角形中,可得所以,故A正确; 对于B,不妨设,当时表示双曲线,当时表示该双曲线的两条渐近线.设直线,其与的交点为联立,可得,应满足且.由韦达定理可知,都与无关.所以线段的中点与线段的中点重合,不妨设为.由可知,故B正确;对于C,设,且,所以若的斜率范围为,则的斜率的范围为,C正确;对于D,联立,消去可得,故直线与双曲线无交点,所以不存在中点,D错误.故选:ABC.12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2,过焦点作直线与抛物线交于、两点,与轴交于点,过点作抛物线的切线与准线交于点,连接,若,则( )A. B. C. 为钝角D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件,求出点的坐标,直线的方程,结合抛物线的切线求出点坐标,再逐项计算判断即得.【详解】依题意,由,得,设,不妨令,过作轴的垂线分别交y轴于,则有,即,点,设直线的方程为,与方程联立消去x得:,则,解得,因此点,直线,设抛物线在点处切线方程为,与方程联立消去x得:,显然,解得,于是抛物线在点切线方程为,而抛物线的准线为,则,对于A,直线斜率,因此,A正确;对于B,由,得,B正确;对于C,显然,即为直角,C错误;对于D,点O到直线的距离,点M到的距离,所以,D正确.故选:ABD【点睛】结论点睛:抛物线在点处的切线斜率;抛物线在点处的切线斜率.三、填空题:本题共4小题,
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