2020年浙江卷数学试题（带解析）一、单选题1 .已知集合 P=x x 4 ,Q=x 2 x 3 ,贝 l J?n Q=()A.x|l x 2 B.x|2 x 3 C.x|3 x 4 D.x|l x 4 2 .已知若-2)i(i为虚数单位)是实数，则=()A.1 B.-1 C.2 D.-23.若实数x,y满足约束条件x-3 y +l 0f。,则6+2的取值范围是（）A.(-o o,4 B.4,+o o)C.5,+o o)D.(-00,+00)4.函数y=xc o s x+s i nx在区间-兀，用的图象大致为（）5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：c n?）是（）俯视图A-iBTC.3D.66 .已知空间中不过同一点的三条直线机，n,I,则“M Z,n,/在同一平面”是,n,I两两相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7 .已知等差数列 飙 的前项和S”公差存0,341.记加=5 2,劣+1=$2+2-5 2,e N ,a下列等式不可熊成立的是()A.2 a4=2+”6 B.2b 4=b i+b 6 C.a：=a 2 atl D.b：=2瓦8.已知点0(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点尸满足|刑-|P B|=2,且尸为函数产3“一 f图像上的点，则|O P|=()A.-B.生 何 C.77 D.V i o259.已知m b e R 且 厚0,对于任意 后0 均有(x-)(x-Z?)(x-2 a-Z?)K)，则()A.a 0 C.b 01 0.设集合S,T,S GN*,T N*,S,7 中至少有两个元素，且 S,T满足：对于任意x,y S,若#y,都有xy w T对于任意X,y T,若 x 0)与圆炉+丁=1 和圆。一 4)2 +丁=1 均相切，贝心=；b=.1 4 .盒子里有4个球，其 中 1 个红球，1 个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1 个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为。则 P(4 =0)=；E=.试卷笫2页，共4页三、填空题1 5 .我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 见?)就是二阶等差数列，数 列(卜 底)的 前 3项和是.1 6.已知圆锥的侧 面 积(单位：cm?)为 2兀，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是.1 7 .设I，1为单位向量，满足区及，石=3 冢+1，设 九 B的夹角为。，则c o s?。的 最 小 值 为.四、解答题1 8.在锐角 A B C 中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且2 A i n A-J =0.(I)求角3的大小；(I I)求 c o s/1+c o s B+c o s C 的取值范围.1 9 .如图,三棱台 A BC D EF 中，平面 A C 尸。_ L 平面 A BC,Z A C B=Z A C D=45,D C =2BC.(I)证明：EFV DB-,(I D 求。尸与面O B C 所成角的正弦值.b *20 .已 知 数 列 打,c“中，,=/?!=q =l,c =a t l-a,c =-c(n e N ).“n+2(1 )若数列 d 为等比数列，且公比4 0,且 优+弱=地,求 q与 ”的通项公式；(I I)若数列 九 为等差数列，且公差d0,证明：c,+c2+-+c 0),点A是椭圆G与抛物线c?的交点，过点A的直线/交椭圆G于点8,交抛物线C?于“(B,M 不同于A).(I)若p=3,求抛物线C2的焦点坐标；16(I I)若存在不过原点的直线/使M为线段A B的中点，求p的最大值.2 2.已知函数.f(x)=e*-x-a,其中2.71828为自然对数的底数.(I)证明：函数y=.f(x)在(。，+8)上有唯一零点；(I I)记初为函数y=/(x)在(0，+8)上的零点，证明:(i)J a-l V 而 (e-l)(n-)a.试卷第4页，共4页参考答案1.B【分析】根据集合交集定义求解.【详解】P i 2 =(1,4)1 (2,3)=(2,3)故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.C【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(a-l)+(a-2”.为实数，所以a 2=0,，a =2,故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.B【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，答案第1页，共20页其中Z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在)，轴上的截距最大，Z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，f x-3 y+l =0 ,、联立直线方程：n,可得点A的坐标为：A(2,l ,x+y-3 =0据此可知目标函数的最小值为：n=2+2xl =4且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是 4,”).故选：B.【点睛】求线性目标函数z=a x+b y(a 原0)的最值，当 b 0 时，直线过可行域且在)，轴上截距最大时,z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当。0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小，在 y轴上截距最小时，z 值最大.4.A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在=万处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为/(x)=x c os x+s i n x,则/(-x)=-x c os x-s i n x =-/(x),答案第2 页，共2 0 页即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据 此 可 知 选 项C。错 误：且X=T时，y =;r c os/+s i n乃=一方0,据止匕可知选项8错误.故 选：A.【点 睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数的值 域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排 除 不 合 要 求 的 图 象.利 用 上 述 方 法 排 除、筛选选项.5.A【分 析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【详 解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且 棱 锥 的 高 为1,棱柱的底面为等腰直角三角形，棱 柱 的 高 为2,所以几何体的体积为：x x 2 x 1 x 1 +*2 x 1 x 2 =F 2 =3（2 ）U）3 3故选：A【点 睛】答案第3页，共20页本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.6.B【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意机,”，/是空间不过同一点的三条直线，当犯”，/在同一平面时，可能相/,故不能得出两两相交.当肛，/两两相交时，设机c =A,，c/=8,c/=C，根据公理2可知犯”确定一个平面a ,而Be M ua,Ce“ua,根据公理1可知，直线3c即/ua,所以犯，/在同一平面.综上所述，“皿，/在同一平面”是“1,/两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.7.D【分析】根据题意可得，bn*i=52 n+2 S2=%+2 +2，而=S?=4 +“2，即可表Z K出题中。2，&，匕6,优，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立.【详解】对于A,因为数列%为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4+4 =2 +6可得,2 a4=a2+a6,A 正确;对于 B,由题意可知，b+l=S2n+2-S2=+%+2，=$2 =4 +%，；.%=%+%，=%+%,%=4|+2，=45+46.2b4=2(7+a ),b2+bh=a3+a4+al 2.根据等差数列的下标和性质，由3+1 1 =7 +7,4+1 2 =8+8可得%+四=4+%+41+42=2(%+/)=2/?4 B 正确;对于 C,a：-%0s=(4+34)-(a 1 +4)(4+7 J)=2d2-2a1d=2d(d-%),当q=d时，C正确;答案第4页，共20页对于 D,照=(%+6)2 =(2 4+1 31)2 =4a；+52 a/+1 69/，她(=3+%)(%+1 6)=(2 21+54)(2 al+2 9d)=4a：+68 0 时，ax 0；当d0时，4 N d ,3d-2 4=4 +2（4-q）0,所 以 睨-打 区 。，D 不正确.故选：D.【点 睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题.8.D【分 析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点尸的坐 标，得 到|OP|的值.【详 解】因为|申|-|尸8|=2 0）,而 点P还 在 函 数y =3,4 _ V的 图 象 上,所 以,由-y =354-卜2,丁 解 得，厂-=1（工0）_ V 1 3X-3挤即I。个旧宅=阮故 选：D.【点 睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.9.C【分 析】对。分a 0与。0时，则刍 0,要使f(x)2 0,必有2 a+6=a,且6 0,即”且。0,所以8 0；当a *3，*0,要使/(x)2 0,必有 0.综上一定有b 0.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.1 0.A【分析】分别给出具体的集合S和集合T,利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取S =1,2,4,则7 =2,4,8,此时S|J7 =1,2,4,8,包含4个元素,排除选项C；若取S =2,4,8,则T =8/6,32 ,此时SU7=2,4,8,1 6,32 ,包含5个元素，排除选项。;若取 S =2,4,8,1 6,则 7 =8,1 6,32,64,1 2 8,此时 SUT =2,4,8,1 6,32,64,1 2 8,包含 7 个元素，排除选项后下面来说明选项4的正确性：设集合5=四,外,。3，。4，且 P l P 2 V p 3 V p 4,P 1，P 2，P 3，P 4 C N*,则 P l P 2 V p2 P 4，且 P/2，P2PdT,则红5,P 同 理&wS,瓜e S ,ds,P i P 3 P i P P 若P 1=l，则，2 22,贝！上/2，u u4 4 q G+1 W 2,I T IT 3-C.2 21，2(a h)2.c o s 0 r rya -bIT IT IT IT(4 +4 q,)2 4(l +q 0)-!-ir ir=-tr ir(2 +2 q e2)(1 0 +6 q-e2)5 +3 q*e2=1(1-2 2 83 5 +3弓勺 3 5 +3 x 3 2 9.4,f、2 8故答案为：【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.1 8.(I)B=-(II)3 6 +1 32 ,2【分析】(I)首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角8的大小；(II)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得c o s 4+8$3+8$(7的取值范围.【详解】(I)解：方法一:余弦定理答案第10页，共20页2S 2 Z si n A=j3a,得 si n，A=3a2即 1 -c o s2 A=细 7 .4b2结合余弦定c o s A=也 2bc.(b2+c2-a2 _ 3a2 I -2 b c)W即 4b2c2-b4-c4-a4-2