2 0 2 3 年全国中学数学联合竞赛一试(B 卷)一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分.1.在等比数列 4 中，%=曰 则的值为.2.设复数Z满意z+9=10三+22,，则I z I的值为.3.设/(x)是定义在R上的函数，若/(幻+/是奇函数，f(x)+2 是偶函数，则/的值为.4.在AABC中，若sinA=2 s in C,且三条边a,仇c成等比数列，贝U cos A的值为.5.在正四面体ABC。中，瓦尸分别在棱4氏4。上，满意B E =3,E F =4,且 所 及平面BCD平行，则A D E F的面积为.6.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点集K=(x,y)|x,y=-l,0,l,在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.7.设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线尤2+。2+/=。的焦距为%则。的值为8.若正整数。，仇c满意2017 2 10a2 100Z?1000c,则数组(a,b,c)的个数为.二、解答题(本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.设不等式|2-a|1 J2二、（本题满分4 0分）给定正整数加，证明：存在正整数左，使得可将正整数集N+分拆为女个互不相交的子集4,4，4,每个子集4中均不存在4个数a,c,d （可以相同），满意abcd=m.三、（本题满分5 0分）如图，点。是锐角A A 8 C的外接圆。上弧6 c的中点，直线ZM及圆切过点B,C的切线分别相交于点P,Q,BQ及4c的交点为X,C P及AB的交点为丫，8Q及CP的交点为T,求证：AT平分线段X Y.四、(本题满分5 0分)设qg,a2 0el,2,5),伪也，.也()e l,2,1 0),集合X =(z,j)|l /j 2 0,(a,.-a7)(Z?,.-)0,故二次曲线为双曲线，其标准方程为，则。2=(口)2+(-。)2=/_。，留意到焦距2c，=4,可知一。=4,又a0,所以.8.答案：574解：由条件知，当c =l时，有 T 0W匕W 2 0,对于每个这样的正整数匕，由1 0 b W a W 20 1知，相应的a的个数为20 2-1 0 b，从而这样的正整数组的个数为*(20 2-1 0 A)=002+2”11=5 7 2,*=i o 220 1 7当c =2时，由，知，。=2 0,进而20 0 a 、一 =20 1,1 0故 a =20 0,20 1,此时共有 2 组(a,。,c).综上所述，满意条件的正整数组的个数为572+2=574.9.解:设f=2设 则fe 2,4,于 是 对全部fw 2,4成立，由于|f|5 Z|(t (5 Z)21(2f a 5)(5 a)0,对给定实数a,设/(f)=(2f a 5)(5 a),则/Q)是关于r的一次函数或常值函数，留意fe 2,4,因此/)0等价于，解得3 a 5/(4)=(3-)(5-)0所以实数。的取值范围是3 a+8=0 ，由于/及G交于两个不同的点，故关于x的方程的判别式A为正，计算得，-=(t2-2t+4)2-2(产-2f)2+8)=(产 -2/)2 _ 8(产-2f)+1 62(产-2r)2-1 64=(r-2。2+8(产-2t)=一(产-2/)(产-2/-8)=-t(t-2)(/+2)(/-4),因此有fw(2,0)、(2,4),设Q,R的横坐标分别为王,，由知，=产2/+4,因此，结合/的倾斜角为45可知，|PQ.PR=V 2(x,-r V 2(x2-t2)=2xxx2 2产(玉+)+2-=(产-+8 2产(r2 一 2/+4)+2/=t4-4/+4产 +8 -2f 4 +4户-8 f 2+2t&=t4-4t2+8=(产-2 +4,由可知，r2-2 G(-2,2).(2,1 4),故(产2 e 0,4)l.(4,1 9 6),从而由得：PQ.PR=(?2-2)2+4 e L 4,8)(8,20 0)注1：利用G的圆心到/的距离小于的半径，列出不等式，同样可以求得中f的范围.注2：更简便的计算I PQM PR|的方式是利用圆幕定理，事实上，的圆心为“(4,0),半径为r=2 0,故IPQ|.|PRH PM|2-r2=(产-4)2+(2r)2 一(20=r4-4r2+8.加试试卷答案、证明：当d N l时，不等式明显成立以下设O W d 0因 止 匕|(1+a)(l+0)(1+c)|(l-c)(l+c)|=l-c2=l-|c|2 -d2二、证明：取攵=机+1,令4=x|x三i(mod/%+l),xeN+,/=1,2,m+1设a,Z?,c,d e,则 aO-cd s Z z -z z =0(modm+1),故m+l|a。一c d,而所以在A,.中不存在4个数a,b,c,d,满意ab cd=tn三、证明：首先证明yxB C,即证连接8 D,C O,因为，-AC CQ sin ZACQ-AC BC sin ZACB-AC AQsinZCAQ所以彳-二，-.-ABBC sin ZABC AB BP sin ZABP-AB AP sin ZBAP2 2 2由题设，BP,CQ是圆。的切线，所以NACQ=NA8C,Z A C B Z A B P,又NCAQ=NDBC=NDCB=NBAP(留意。是弧BC的中点)，于是由知 因为NC4Q=N B 4 P,所以/BAQ=NC4P,于夷 ScA AB。-A B*AQsin ZBAQ.D 4 c=2 丫=AB.AQ SMCP-AC APsin ZCAP A C*A P2c BC CQ sin Z.BCQ 八而也丝-S&BC P L BC BP sin NCBP B P2由，得，即又，故设边BC的中点为M,因为，所以由塞瓦定理知，AM,BX,Cy三线共点，交点即为T,故由KY8 C可得AT平分线段XY四、解：考虑一组满意条件的正整数(,勺，%)，仇也，,也。)对女=1,2,5,设4,4 o中取值为人的数有个，依据X的定义，当=为 时，,因此至少有个)不在X中，留意到，则柯西不等式，我们有E G=；(1/4)2；”:(打)2-打)=；20 m-1)=30女=1 ,k=k=Z k=2=1,从而X的元素个数不超过C；o-30=190-30=160另一方面，取“4-3=”4*-2=”4-I=(k=1,2,5),4=6-4 (/=1,2,20).则 对 随 意(lW i j lDE2-E H-=/33 于是 SgR.=；,EF=2 后6.在平面直角坐标系xQi，中，点集K=(x,y)|x,y=1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.解:注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C：=81种.当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如卜.三种情况：(1)三点在一横线或一纵线上，有6种情况.(2)三点是边长为1,正 的等腰直角三角形的顶点，有4x4=16种情况.(3)三点是边 长 为 立,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于Y0.0)的有4个，直角顶点位于(1*0),(0,1)的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6-I6 +R 3 0.进而所求概率为史=上.84 147.设。为非零实数，在平面直角坐标系KOJ中，二次曲线/+2+标=0的焦距为4,则a的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案：上 空.2解:二次曲线方程可写成-=1.显然必须 o,故二次曲线为双曲a*a线，其 标 准 方 程 为 一 一-J=l.则c2=(G)2 +(-4 =/a,注意到焦距(尸(-42c=4,可知/a=4,又a 0,所以。=!.28.若正整数明4 c满足2017210aNIOObNIOOOc,则数组(a,正c)的个数为.答案：574.解：由条件知T丽卜2当c=l时，有10W 8W 20.对于每个这样的正整数6,由108 WaW201知，2相应的。的个数为202-10人 从而这样的正整数组的个数为52(202 10/)=2 0.进而2 0 0 4 3带=201,故。=200,2 0 1.此时共有2组(4瓦c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为572-2 574.二、解答题：本大题共3小题，满分5 6分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步屏.9.(本题满分1 6分)设不等式|2-4|5-2 对所有川，2|成立，求实数”的取值范围.解：设r=2、，则相2,4 ,于是|/;|5/对所有/E 2.4成立.由于|/-a|(r-a)2(5-/)*(2t-a-5)(5-a)0.8 分对给定实数-设/=(2/-。-5)(5-G，则/”)是关于，的一次函数或常值函数.注意/2 4 ,因此/。)0等价于/(2)=(-l-a)(5-fl)0,/(4)=(3-aX5-0,解得3 o 5.所以实数。的取值范围是3 a 0(X2-)=2/与 _ 2/区+W)+21*=(-2r 尸 +8-2r(尸 一 2,+4)+2r=-4/+4+8-2/+4/-8+2r=/4-4r2+8=(r2-2)2+4.15分由可知，2-2(-2,2)11(2,14),故(-2 0,4)11(4,196),从而由得,PQ-PR=(t1-2)2+4 G4.8)U(8,200).20 分注1：利用G的圆心到/的距离小于G的半径，列出不等式土弓F l-d 0.2 0分因此|(l +a)(l+/X l+c)|2|(l-c X l+c)|=1-，=1-固*/.4 0分二、（本 期 I分 40分）给定正整数m,证明：存在正整数，使得可将正整数集N.分拆为A个互不相交的子集4 4,.4,每个子集4 中均不存在4 个数a、b,c、d（可以相同），满足ab-cd=m.证明：取+1,令 4 =1x|x 三 /（modm+1）,x N J ,i=1,2,./n+1 .20分设a泊,c,d w 4，则ab-cd 三 i i-i i=0（mod/7j+1）故/n+“H c d，而m+所以在耳中不存在4 个数a,b,c,d,满足ab-cd=m .40 分三、（本题清分5 0 分）如图，点。是锐角 45C 的外接圆上弧6 c 的中点，直 线 与 圆 卬过点3.C 的切线分别相交于点P,。，8。与力C 的交点为X，CP与力B的交点为Y,BQ与CP的交点为7.求证：4 7 平分线段XX.（答题时请将图画在答卷纸上）证明：首先证明四 8C，Hn即证.T AX=AYXC YB连接8。,C O.因为Sjucp S/U 8C =S*Q八4”4b尸-A C CQsinZACQ-A C BCsinZACB-A C AQsinZCAQ所 以 2-2-=2-,AB-BC sin AABC-AB-BP sin ZABP-AB-/P$in Z.BAP2 2 2由题设，8P,C。是圆切的切线，所 以 ZACQ=ZA B C ZC B =ZABP,又NCAQ=4DBC=4 C B =NBAP（注意。是弧8 c 的中点），于是由知坐 丝=丝AC AP BP.20分因为NC/Q=N 8 4 P,所以NB/0=N。尸，于是S诙 YBZOsinm。皿 枚$3 -ACAPsinACAP A C A P2而由，得5卬 -BC BP sin ZCBP B P2SjABQ _ S“理s sBCP设边8 c 的中点为M,因为4 0 分AX CM BY,XC MB YA所以由塞瓦定理知，8 K t y 三线共点，交点即为T,故由ET 8 c 可得,47平分线段XV.50分四、(本题满分5 0 分)设q,外,1,2,5.4,%1,2,10,集 合 工=伍 川1金/20,(a)-ayX*,-*7),=2 0,由柯西不等式，我们有承=睛H咻胡-2卜网豹=30，从而X 的元素个数不超过C0-30=190-30=160.30 分另一方面，取a“T=。&_ 2 =。a_|=A(A=1 2 ,5),b,=6-q(i=l,2,20),则对任意/；八1金 -al)-(f-a)=-(al-a)y 0,等号成立当且仅当。,=%