4.1 数列的前数列的前n项和及斐波那契数列项和及斐波那契数列问题问题1：什么是数列的前什么是数列的前n项和公式？项和公式？探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题问题问题2：数列的前数列的前n项和公式与通项公式有何联系？项和公式与通项公式有何联系？数列数列的的前前n项项和和数列an从第1项a1到第n项an的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+.+an数列an的前n项和Sn与序号n之间的关系式叫做数列的前n项和公式.Sn=a1+a2+.+an1+anSn1=a1+a2+.+an1(n2)an=SnSn1(n2)P7-思考:已知数列an的前n项和公式为Sn=n2+n,求数列an的通项公式.练习练习1已知数列an的前n项和公式为Sn=2n2+1,求数列an的通项公式.分段求解分段求解,检验结果能否统一形式检验结果能否统一形式阅读与思考阅读与思考斐波那契数列斐波那契数列1202年，意大利数学家斐波那契年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，约，约1170约约1250)出版了他的出版了他的算盘全书算盘全书(Liber Abaci)他在书中收录了一些有意思的问题，其中有他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：一个关于兔子繁殖的问题：如果如果1对兔子每月能生对兔子每月能生1对小兔子对小兔子(一雄一雌一雄一雌)，而每，而每1对对小兔子在它出生后的第小兔子在它出生后的第3个月里，又能生个月里，又能生1对小兔子，对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开对初生的小兔子开始，始，50个月后会有多少对兔子？个月后会有多少对兔子？斐波那契在算盘书中的兔子繁殖问题斐波那契在算盘书中的兔子繁殖问题(兔子数单位：对兔子数单位：对)如如果果1对对兔兔子子每每月月能能生生1对对小小兔兔子子(一一雄雄一一雌雌)，而而每每1对对小小兔兔子子在在它它出出生生后后的的第第3个个月月里里，又又能能生生1对对小小兔兔子子，假假定定在在不不发发生生死死亡亡的的情情况况下下，由由1对对初初生生的的小小兔兔子子开开始始，50个个月月后后会会有有多多少少对对兔兔子子?时间时间/月月初生兔子初生兔子/对对成熟兔子成熟兔子/对对兔子总数兔子总数/对对1101201131124123523563587581388132191321341021345511345589125589144由此可知，从第由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，你发现这个数列的规律了吗？你发现这个数列的规律了吗？黄金分割点黄金分割点1111斐波那契数列有很多有趣的性质斐波那契数列有很多有趣的性质例如，斐波那契数列满足等式，例如，斐波那契数列满足等式，我们可以用图形（图我们可以用图形（图1）来表示这个等式）来表示这个等式图图1中小正方形的边长等于斐波那契数中小正方形的边长等于斐波那契数1，1，2，3，5，8，若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积，若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积，如图如图1所示，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，所示，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，就得到了一条被称为就得到了一条被称为“斐波那契螺旋斐波那契螺旋”的弧线的弧线如果我们在图如果我们在图1上不断增加边长是斐波那契数的正方形，上不断增加边长是斐波那契数的正方形，那么那么“斐波那契螺旋斐波那契螺旋”也将不断向外延伸，也将不断向外延伸，而且它的形状将越来越接近而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋黄金比例螺旋”绘制斐波那契螺旋线，绘制斐波那契螺旋线，验证验证课本课本P11的结论的结论an:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,随着边长的增加，螺旋线的形状越来越接近随着边长的增加，螺旋线的形状越来越接近“黄金比例螺旋黄金比例螺旋”.前前n个小正方形的面积和个小正方形的面积和为相邻两个斐波那契数为相邻两个斐波那契数an与与an+1之积之积(n2)向日葵花盘上的螺旋线条，向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针的螺旋线：顺时针的螺旋线：2121条；条；逆时针的螺旋线：逆时针的螺旋线：3434条。条。松果上的螺旋线条，松果上的螺旋线条，顺时针的螺旋线：顺时针的螺旋线：8 8条；条；逆时针的螺旋线：逆时针的螺旋线：1313条。条。更加有趣的是，人们在自然界中发现了许多斐波那契数列例如，一棵树在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的树枝总数正好构成了斐波那契数列又如，图2中向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，从内往外看，逆时针方向的螺旋有13条，顺时针方向的有21条，恰为斐波那契数列的相邻两项蒲公英的种子和松塔的鳞片的排列也呈现出类似的规律由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐波那契协会，并于1963年创办斐波那契季刊，专门发表关于这个数列的研究论文有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书籍搜集资料，进一步了解盘研究斐波那契数列