专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019导数综合问题2019年北京文科20解答题2018导数综合问题2018年北京文科19解答题2017导数综合问题2017年北京文科20解答题2016导数综合问题2016年北京文科20解答题2015导数综合问题2015年北京文科19解答题2014导数综合问题2014年北京文科20解答题2012导数综合问题2012年北京文科18解答题2011导数综合问题2011年北京文科18解答题2010导数综合问题2010年北京文科18历年高考真题汇编1【2019年北京文科20】已知函数f（x）x3x2+x（）求曲线yf（x）的斜率为l的切线方程；（）当x2，4时，求证：x6f（x）x；（）设F（x）|f（x）（x+a）|（aR），记F（x）在区间2，4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值【解答】解：（）f（x），由f（x）1得x（x）0，得又f（0）0，f（），yx和，即yx和yx；（）证明：欲证x6f（x）x，只需证6f（x）x0，令g（x）f（x）x，x2，4，则g（x），可知g（x）在2，0为正，在（0，）为负，在为正，g（x）在2，0递增，在0，递减，在递增，又g（2）6，g（0）0，g（）6，g（4）0，6g（x）0，x6f（x）x；（）由（）可得，F（x）|f（x）（x+a）|f（x）xa|g（x）a|在2，4上，6g（x）0，令tg（x），h（t）|ta|，则问题转化为当t6，0时，h（t）的最大值M（a）的问题了，当a3时，M（a）h（0）|a|a，此时a3，当a3时，M（a）取得最小值3；当a3时，M（a）h（6）|6a|6+a|，6+a3，M（a）6+a，也是a3时，M（a）最小为3综上，当M（a）取最小值时a的值为32【2018年北京文科19】设函数f（x）ax2（3a+1）x+3a+2ex（）若曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，求a；（）若f（x）在x1处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）ax2（3a+1）x+3a+2ex的导数为f（x）ax2（a+1）x+1ex曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，可得（4a2a2+1）e20，解得a；（）f（x）的导数为f（x）ax2（a+1）x+1ex（x1）（ax1）ex，若a0则x1时，f（x）0，f（x）递增；x1，f（x）0，f（x）递减x1处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a1，则f（x）（x1）2ex0，f（x）递增，无极值；若a1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+），（，）递增，可得f（x）在x1处取得极小值；若0a1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+），（，1）递增，可得f（x）在x1处取得极大值，不符题意；若a0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+），（，）递减，可得f（x）在x1处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（1，+）3【2017年北京文科20】已知函数f（x）excosxx（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）excosxx的导数为f（x）ex（cosxsinx）1，可得曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为ke0（cos0sin0）10，切点为（0，e0cos00），即为（0，1），曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1；（2）函数f（x）excosxx的导数为f（x）ex（cosxsinx）1，令g（x）ex（cosxsinx）1，则g（x）的导数为g（x）ex（cosxsinxsinxcosx）2exsinx，当x0，可得g（x）2exsinx0，即有g（x）在0，递减，可得g（x）g（0）0，则f（x）在0，递减，即有函数f（x）在区间0，上的最大值为f（0）e0cos001；最小值为f（）cos4【2016年北京文科20】设函数f（x）x3+ax2+bx+c（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）设ab4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a23b0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【解答】解：（1）函数f（x）x3+ax2+bx+c的导数为f（x）3x2+2ax+b，可得yf（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为kf（0）b，切点为（0，c），可得切线的方程为ybx+c；（2）设ab4，即有f（x）x3+4x2+4x+c，由f（x）0，可得cx3+4x2+4x，由g（x）x3+4x2+4x的导数g（x）3x2+8x+4（x+2）（3x+2），当x或x2时，g（x）0，g（x）递增；当2x时，g（x）0，g（x）递减即有g（x）在x2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为由函数f（x）有三个不同零点，可得c0，解得0c，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点即有f（x）有3个单调区间，即为导数f（x）3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得0，即4a212b0，即为a23b0；若a23b0，即有导数f（x）3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c0，ab4时，满足a23b0，即有f（x）x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（2，0），则f（x）的零点为2个故a23b0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件5【2015年北京文科19】设函数f（x）klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点【解答】解：（1）由f（x）f（x）x由f（x）0解得xf（x）与f（x）在区间（0，+）上的情况如下：X （0，） （） f（x） 0+ f（x） 所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为f（）因为f（x）存在零点，所以，从而ke当ke时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点当ke时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点6【2014年北京文科20】已知函数f（x）2x33x（）求f（x）在区间2，1上的最大值；（）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，求t的取值范围；（）问过点A（1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线yf（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（）由f（x）2x33x得f（x）6x23，令f（x）0得，x或x，f（2）10，f（），f（），f（1）1，f（x）在区间2，1上的最大值为（）设过点P（1，t）的直线与曲线yf（x）相切于点（x0，y0），则y023x0，且切线斜率为k63，切线方程为yy0（63）（xx0），ty0（63）（1x0），即46t+30，设g（x）4x36x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”g（x）12x212x12x（x1），g（x）与g（x）变化情况如下： x（，0） 0 （0，1） 1（1，+） g（x）+ 0 0+ g（x） t+3 t+1g（0）t+3是g（x）的极大值，g（1）t+1是g（x）的极小值当g（0）t+30，即t3时，g（x）在区间（，1和（1，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（1）t+10，即t1时，g（x）在区间（，0和（0，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（0）0且g（1）0，即3t1时，g（1）t70，g（2）t+110，g（x）分别在区间1，0），0，1）和1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（，0）和1，+）上单调，故g（x）分别在区间（，0）和1，+）上恰有1个零点综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切时，t的取值范围是（3，1）（）过点A（1，2）存在3条直线与曲线yf（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线yf（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线yf（x）相切7【2012年北京文科18】已知函数f（x）ax2+1（a0），g（x）x3+bx（1）若曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a3，b9时，函数f（x）+g（x）在区间k，2上的最大值为28，求k的取值范围【解答】解：（1）f（x）ax2+1（a0），则f（x）2ax，k12a，g（x）x3+bx，则g（x）3x2+b，k23+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a3+b又f（1）a+1，g（1）1+b，a+11+b，即ab，代入式，可得：a3，b3（2）当a3，b9时，设h（x）f（x）+g（x）x3+3x29x+1则h（x）3x2+6x9，令h（x）0，解得：x13，x21；k3时，函数h（x）在（，3）上单调增，在（3，1上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间k，2上的最大值为h（3）283k2时，函数h（x）在区间k，2上的最大值小于28所以k的取值范围是（，38【2011年北京文科18】已知函数f（x）（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）