福建省永安市第三中学2024届高三3月月考数学试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，若，则的最小值为（ ）A1B2C3D42已知命题：R，；命题 ：R，则下列命题中为真命题的是（ ）ABCD3已知函数，则下列判断错误的是（ ）A的最小正周期为B的值域为C的图象关于直线对称D的图象关于点对称43本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）ABCD5已知Sn为等比数列an的前n项和，a516，a3a432，则S8（ ）A21B24C85D856我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）ABCD7已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）ABCD8已知集合，则的真子集个数为（ ）A1个B2个C3个D4个9某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） ABCD10设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为A8B16C24D3611设，满足，则的取值范围是（ ）ABCD12已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_14在面积为的中，若点是的中点，点满足，则的最大值是_.15直线是曲线的一条切线为自然对数的底数)，则实数_.16设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为求a，b的值；证明：18（12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.19（12分）已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）判断函数的零点个数.20（12分）已知，且满足，证明：.21（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望22（10分）已知函数（1）当时，证明，在恒成立；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】解出,分别代入选项中 的值进行验证.【题目详解】解：，.当 时,，此时不成立.当 时,，此时成立，符合题意.故选:B.【题目点拨】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.2、B【解题分析】根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.【题目详解】对命题：可知，所以R，故命题为假命题命题 ：取，可知所以R，故命题为真命题所以为真命题故选：B【题目点拨】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.3、D【解题分析】先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】可得对于A，的最小正周期为,故A正确；对于B，由，可得，故B正确；对于C，正弦函数对称轴可得：解得：，当，故C正确；对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：解得：若图象关于点对称，则解得：，故D错误；故选：D.【题目点拨】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4、D【解题分析】把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件计数后可求得概率【题目详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，所求概率为故选：D.【题目点拨】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率5、D【解题分析】由等比数列的性质求得a1q416，a12q532，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【题目详解】设等比数列an的公比为q，a516，a3a432，a1q416，a12q532，q2，则，则，故选：D.【题目点拨】本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.6、B【解题分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【题目详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果，故概率.故选：B.【题目点拨】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.7、A【解题分析】若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.【题目详解】解：，设，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，当，函数恒过点，分别画出与的图象，如图所示，若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，且，即，且，故实数m的最大值为，故选：A【题目点拨】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.8、C【解题分析】求出的元素，再确定其真子集个数【题目详解】由，解得或，中有两个元素，因此它的真子集有3个故选：C.【题目点拨】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集9、D【解题分析】利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.【题目详解】在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，矩形中位于曲线上方区域的面积为，矩形的面积为，由几何概型的概率公式得，所以，.故选：D.【题目点拨】本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10、B【解题分析】方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B11、C【解题分析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【题目详解】由题知，满足，可行域如下图所示，可知目标函数在点处取得最小值，故目标函数的最小值为，故的取值范围是.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.12、A【解题分析】利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.【题目详解】依题意，对应点为，在第一象限.故选A.【题目点拨】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.【题目详解】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于A点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，由，得，代入，得，所以点C的坐标为等价于点与原点连线的斜率，所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，故答案为：.【题目点拨】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.14、【解题分析】由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB|AC|，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化，最后由重要不等式求得最值.【题目详解】由ABC的面积为得|AB|AC|sinBAC=，所以|AB|AC|sinBAC=，又,即|AB|AC|cosBAC=，由与的平方和得:|AB|AC|=，又点M是AB的中点，点N满足，所以，当且仅当时，取等号，即的最大值是为.故答案为：【题目点拨】本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.15、【解题分析】根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值.【题目详解】，则，所以切点为，故切线为，即，故.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.16、【解题分析】采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果.【题目详解】如图由，所以由，所以又，则所以所以化简可得：则故答案为：【题目点拨】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（