湖北部分重点中学2024届高三“零诊”考试数学试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知等差数列中，则（）A10B16C20D242如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）ABCD3已知向量，夹角为， ，则( )A2B4CD4已知 ，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）ABCD5某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（ ）A800B1000C1200D16006已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ）ABCD7对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，下列函数模型中拟合较好的是（ ）ABCD8如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）ABCD9已知.给出下列判断：若，且，则；存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；若在上恰有7个零点，则的取值范围为；若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（ ）A1B2C3D410下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( )A.BCD11已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）ABCD12执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A9B31C15D63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，且，则的最小值是_.14已知，满足约束条件则的最小值为_.15已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为_，若目标函数的最小值为-1，则实数等于_.16设，则“”是“”的_条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数.（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；（2）若，求证：当时，18（12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.19（12分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.(1)求的方程；(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.20（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，求的取值范围21（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.（）证明：；（）设，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30，求的值.22（10分）设数列的前列项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【题目详解】已知等差数列中，故答案选C【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.2、D【解题分析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.3、A【解题分析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【题目详解】由于，故选：A.【题目点拨】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.4、D【解题分析】“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【题目详解】由题意知：可化简为，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【题目点拨】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.5、B【解题分析】由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数频率可以求得成绩在内的学生人数.【题目详解】由频率和为1，得，解得，所以成绩在内的频率，所以成绩在内的学生人数.故选：B【题目点拨】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.6、A【解题分析】建立平面直角坐标系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围【题目详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，所以的取值范围是故选A【题目点拨】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用7、D【解题分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线【题目详解】如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D【题目点拨】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好8、D【解题分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【题目详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【题目点拨】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.9、B【解题分析】对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【题目详解】因为，所以周期.对于，因为，所以，即，故错误；对于，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，所以错误；对于，令，可得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即，解得，故正确；对于，因为，且，所以，解得，又，所以，故正确.故选：B.【题目点拨】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.10、C【解题分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【题目详解】A中，当时，所以不关于直线对称，则错误；B中，所以在区间上为减函数，则错误；D中，而，则，所以不关于直线对称，则错误；故选：C.【题目点拨】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.11、A【解题分析】在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【题目详解】由已知，在中，由余弦定理，得，又，所以，故选：A.【题目点拨】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立三者间的关系，本题是一道中档题.12、B【解题分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【题目详解】执行程序框；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.【题目点拨】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解题分析】由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.【题目详解】，当且仅当时等号成立.故的最小值为8，故答案为：8.【题目点拨】本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.14、【解题分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知：可行域是由三点，构成的三角形及其内部，当直线过点时，取得最小值.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15、 【解题分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.【题目详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足在直线下方，即，；目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点时，此时，直线：，与：的交点为，该点也在直线：上，故，故答案为：；.【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.16、充分必要【解题分析】根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【题目详解】当时，有，故“”是“”的充分条件.当时，有，故“”是“”的必要条件.故“”是“”的充分必要条件，故答案为：充分必要.【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.【题目详解】（1），时，在上单调递减，令，时，；时，在上为减函数，在上为增函数，的取值范围为（2）若，时，令，显然在上为增函数又，有唯一零点且，时，；时，在上为增函数，在上为减函数又，当时，【题目点拨】此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识