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河南省漯河高中2024届高中毕业班教学质量检测试题(二)数学试题注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1是虚数单位,则( )A1B2CD2如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是( )ABCD3已知等差数列an,则“a2a1”是“数列an为单调递增数列”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为( )ABCD5已知向量,=(1,),且在方向上的投影为,则等于( )A2B1CD06已知集合,若AB,则实数的取值范围是( )ABCD7已知ab0,c1,则下列各式成立的是()AsinasinbBcacbCacbcD8设,则,则( )ABCD9函数在上单调递减的充要条件是( )ABCD10已知公差不为0的等差数列的前项的和为,且成等比数列,则( )A56B72C88D4011已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( )A1B2CD12若集合,则=( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13设、为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:若mn,则m;若m,n,m,n,则;若,m,n,则mn;若,m,n,mn,则n;其中正确命题的序号为_14已知曲线,点,在曲线上,且以为直径的圆的方程是则_15已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则_.16已知实数满足则的最大值为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)对于给定的正整数k,若各项均不为0的数列满足:对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.(1)证明:等比数列是“数列”;(2)若数列既是“数列”又是“数列”,证明:数列是等比数列.18(12分)如图,已知,分别是正方形边,的中点,与交于点,都垂直于平面,且,是线段上一动点.(1)当平面,求的值;(2)当是中点时,求四面体的体积.19(12分)设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线过焦点的弦,已知以为直径的圆与相切于点.(1)求的值及圆的方程;(2)设为上任意一点,过点作的切线,切点为,证明:.20(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A平面ABC,ACB90,ACCBC1C1,M,N分别是AB,A1C的中点.(1)求证:直线MN平面ACB1;(2)求点C1到平面B1MC的距离.21(12分)已知曲线的参数方程为为参数, 曲线的参数方程为为参数).(1)求与的普通方程;(2)若与相交于,两点,且,求的值.22(10分)某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:月收入(单位:百元)频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521(1)若所抽调的50名市民中,收入在的有15名,求,的值,并完成频率分布直方图(2)若从收入(单位:百元)在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查,选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”,求的分布列与数学期望(3)从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民,恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”,根据表格数据,判断这3名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结果参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解题分析】由复数除法的运算法则求出,再由模长公式,即可求解.【题目详解】由.故选:C.【题目点拨】本题考查复数的除法和模,属于基础题.2C【解题分析】作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【题目详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C【题目点拨】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.3C【解题分析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解:在等差数列an中,若a2a1,则d0,即数列an为单调递增数列,若数列an为单调递增数列,则a2a1,成立,即“a2a1”是“数列an为单调递增数列”充分必要条件,故选C考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断4B【解题分析】根据分段函数,分当,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.【题目详解】当时,令,在是增函数,时,有一个零点,当时,令当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,所以当时,取得最大值,因为在上有3个零点,所以当时,有2个零点,如图所示:所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为, 故选:B【题目点拨】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.5B【解题分析】先求出,再利用投影公式求解即可.【题目详解】解:由已知得,由在方向上的投影为,得,则.故答案为:B.【题目点拨】本题考查向量的几何意义,考查投影公式的应用,是基础题.6D【解题分析】先化简,再根据,且AB求解.【题目详解】因为,又因为,且AB,所以.故选:D【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7B【解题分析】根据函数单调性逐项判断即可【题目详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定,故错误;对B,因为ycx为增函数,且ab,所以cacb,正确对C,因为yxc为增函数,故 ,错误;对D, 因为在为减函数,故 ,错误故选B【题目点拨】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性,属基础题8A【解题分析】根据换底公式可得,再化简,比较的大小,即得答案.【题目详解】,.,显然.,即,即.综上,.故选:.【题目点拨】本题考查换底公式和对数的运算,属于中档题.9C【解题分析】先求导函数,函数在上单调递减则恒成立,对导函数不等式换元成二次函数,结合二次函数的性质和图象,列不等式组求解可得.【题目详解】依题意,令,则,故在上恒成立;结合图象可知,解得故.故选:C.【题目点拨】本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或),利用基本三角函数的单调性列不等式求解;(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.10B【解题分析】,将代入,求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【题目详解】由已知,故,解得或(舍),故,.故选:B.【题目点拨】本题考查等差数列的前n项和公式,考查等差数列基本量的计算,是一道容易题.11C【解题分析】画出不等式表示的平面区域,计算面积即可.【题目详解】不等式表示的平面区域如图:直线的斜率为,直线的斜率为,所以两直线垂直,故为直角三角形,易得,所以阴影部分面积.故选:C.【题目点拨】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法,考查数形结合思想和运算能力,属于常考题.12C【解题分析】试题分析:化简集合故选C考点:集合的运算二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解题分析】根据直线和平面,平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【题目详解】对于,当mn时,由直线与平面平行的定义和判定定理,不能得出m,错误;对于,当m,n,且m,n时,由两平面平行的判定定理,不能得出,错误;对于,当,且m,n时,由两平面平行的性质定理,不能得出mn,错误;对于,当,且m,n,mn时,由两平面垂直的性质定理,能够得出n,正确;综上知,正确命题的序号是故答案为:【题目点拨】本题考查了直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.14【解题分析】设所在直线方程为设点坐标分别为,都在上,代入曲线方程,两式作差可得,从而可得直线的斜率,联立直线与的方程,由,利用弦长公式即可求解.【题目详解】因为是圆的直径,必过圆心点,设所在直线方程为设点坐标分别为,都在上,故两式相减,可得(因为是的中点),即联立直线与的方程:又,即,即又因为,则有即.故答案为:【题目点拨】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式,考查了学生的计算能力,综合性比较强,属于中档题.15【解题分析】根据的展开式中第项与第项的二项式系数相等,得到,再利用组合数公式求解.【题目详解】因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等,所以,即 ,所以,即 ,解得.故答案为:10【题目点拨】本题主要考查二项式的系数,还考查了运算求解的能力,属于基础题.16【解题分析】直接利用柯西不等式得到答案.【题目详解】根据柯西不等式:,故,当,即,时等号成立.故答案为:.【题目点拨】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)证明见详解;(2)证明见详解【解题分析】(1)由是等比数列,由等比数列的性质可得:即可证明.(2)既是“数列”又是“数列”,可得,则对于任意都成立,则成等比数列,设公比为,验证得答案.【题目详解】(1)证明:由是等比数列,由等比数列的性质可得:等比数列是“数列”. (2)证明:既是“数列”又是“
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