甘肃省武威市河西成功学校2024届高三年级第四次月考数学试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知数列的首项，且，其中，下列叙述正确的是（ ）A若是等差数列，则一定有B若是等比数列，则一定有C若不是等差数列，则一定有 D若不是等比数列，则一定有2设，则的大小关系是( )ABCD3设实数满足条件则的最大值为（ ）A1B2C3D44已知，则，不可能满足的关系是（）ABCD5已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）ABCD6已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）ABCD7抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）ABCD8已知复数，满足，则（ ）A1BCD59一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）ABCD10已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）ABCD411已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（ ）ABCD12tan570=（ ）AB-CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设为锐角，若，则的值为_14已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为_15已知的终边过点，若，则_16在中，内角所对的边分别是，若，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，若的解集为（1）求的值；（2）若正实数，满足，求证：18（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，其中栈道，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；求当为何值时，栈道总长度最短.19（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点（1）求证：平面平面；（2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值20（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值21（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是.（1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线；（2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程.22（10分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，平面底面，为的中点. （1）求证：平面平面；（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【题目详解】A：当时，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；B：当时，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确； D：当 时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.故选：C【题目点拨】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.2、A【解题分析】选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.【题目详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以，因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【题目点拨】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3、C【解题分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【题目详解】如图所示：画出可行域和目标函数，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【题目点拨】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4、C【解题分析】根据即可得出，根据，即可判断出结果【题目详解】；，；，故正确；，故C错误；，故D正确故C【题目点拨】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题5、A【解题分析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.【题目详解】椭圆的方程，双曲线的方程为，则椭圆离心率，双曲线的离心率，由和的离心率之积为，即，解得，所以渐近线方程为，化简可得，故选：A.【题目点拨】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.6、B【解题分析】设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【题目详解】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，所以，则，当时，当时，当且仅当时取等号，此时，点在以为焦点的椭圆上，由椭圆的定义得，所以椭圆的离心率，故选B.【题目点拨】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解7、A【解题分析】首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【题目详解】样本空间样本点为个， 具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1_ _，_1_，_ _1剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，但合并计算时会有重复，重复数量为，事件的样本点数为：个故不同的样本点数为8个，.故选：A【题目点拨】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题8、A【解题分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可【题目详解】解：，故选：A【题目点拨】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题9、A【解题分析】由题意可知，随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.【题目详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、，则，.因此，随机变量的数学期望为.故选：A.【题目点拨】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.10、D【解题分析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，利用均值不等式得到答案.【题目详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，当，即时等号成立.故选：.【题目点拨】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.11、C【解题分析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当时有极大值，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点的通项公式，且相应极大值，分组求和即得【题目详解】当时，显然当时有，经单调性分析知为的第一个极值点又时，均为其极值点函数不能在端点处取得极值，对应极值，故选：C【题目点拨】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题12、A【解题分析】直接利用诱导公式化简求解即可【题目详解】tan570=tan（360+210）=tan210=tan（180+30）=tan30=故选：A【题目点拨】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】为锐角，故.14、【解题分析】设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得15、【解题分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值【题目详解】的终边过点，若， 即答案为-2.【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.16、【解题分析】先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【题目详解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见详解.【解题分析】（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式证明.【题目详解】解：（1），因为的解集为，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，当且仅当，等号成立【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.18、，；当时，栈道总长度最短.【解题分析】连，由切线长定理知：，即，则，进而确定的取值范围；根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.【题目详解】解：连，由切线长定理知：，又，故，则劣弧的长为，因此，优弧的长为，又，故，即，所以，则；，其中，-0+单调递减极小值单调递增故时，所以当时，栈道总长度最短.【题目