广东省普宁市七校联合体2024届第二学期学业水平考试数学试题注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知的垂心为，且是的中点，则（ ）A14B12C10D82已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）ABCD3下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）A16B17C18D194根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（ ）A1BCD5我国古代数学名著九章算术有一问题：“今有鳖臑(bi na)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A平方尺B平方尺C平方尺D平方尺6已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD7设，则的大小关系是( )ABCD8将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )ABCD9已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）ABCD10设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+)单调递减，则（ ）ABCD11已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）ABCD12某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）ABCD2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知等比数列满足公比，为其前项和，构成等差数列，则_14已知向量，且 ，则实数的值是_15三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有_种（比如：B与D、B与C是相邻的，A与D、C与D是不相邻的）.16有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围18（12分）已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）的角的对边分别为且，求边上的高的最大值.19（12分）椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.20（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角CAD60（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为APB，DPC，问点P在何处时，+最小？21（12分）已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函数f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足1，求实数a的取值范围；（3）若x(0,1，使f(x)成立，求实数a的最大值22（10分）已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最小值，若实数，满足，求的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.【题目详解】因为为的垂心，所以，所以，而， 所以，因为是的中点，所以故选：A【题目点拨】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2、A【解题分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【题目详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题3、B【解题分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.【题目详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出 ，则不符合题意，排除；若输出，则，符合题意.故选:B.【题目点拨】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.4、C【解题分析】根据程序图，当x0继续运行，x=1-2=-10，程序运行结束，得，故选C【题目点拨】本题考查程序框图，是基础题5、A【解题分析】根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【题目详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点， 设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A【题目点拨】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.6、D【解题分析】将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，是增函数；当时，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；【题目详解】函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根.，所以当时，是增函数；当时，是减函数.因此.设，若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.设其解为，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.因为，方程在内有两个不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因为，所以，代入，得.设，所以在上是增函数，而，由可得，得.由在上是增函数，得.综上所述，故选：D.【题目点拨】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题7、A【解题分析】选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.【题目详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以，因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【题目点拨】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8、B【解题分析】设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B9、D【解题分析】画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数【题目详解】画出函数令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个故选：D【题目点拨】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题10、D【解题分析】利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.【题目详解】是偶函数，而，因为在上递减，即故选:D【题目点拨】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.11、C【解题分析】在等比数列中，由即可表示之间的关系.【题目详解】由题可知，等比数列中，且公比为2，故故选：C【题目点拨】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.12、B【解题分析】首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【题目详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0【解题分析】利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.【题目详解】由，是等差数列可知因为，所以，故答案为：0【题目点拨】本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.14、【解题分析】=（1，2），=（x，1），则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），=2=2（1，2）（x，1）=（2x，3），3（1+2x）4（2x）=1，解得：x=点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=1，a1b2a2b1=1 15、192【解题分析】根据题意，分步进行分析：，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案【题目详解】根据题意，分步进行分析：，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有种安排方法；，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有种安排方法，则