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江苏省沭阳县修远中学2024届高三下学期第一次模拟(期中)数学试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为( )A1B2CD2已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则( )A30B45C60D753已知函数满足:当时,且对任意,都有,则( )A0B1C-1D4已知集合,集合,则等于( )ABCD5高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,已知函数(),则函数的值域为( )ABCD6已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为( )ABCD8数列满足:,为其前n项和,则( )A0B1C3D49已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在( ).A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10要得到函数的图象,只需将函数的图象A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度11已知,则( )ABCD212设是虚数单位,则“复数为纯虚数”是“”的( )A充要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充分不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13如图,在三棱锥ABCD中,点E在BD上,EAEBECED,BDCD,ACD为正三角形,点M,N分别在AE,CD上运动(不含端点),且AMCN,则当四面体CEMN的体积取得最大值时,三棱锥ABCD的外接球的表面积为_.14某公园划船收费标准如表:某班16名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,每只租船必须坐满,租船最低总费用为_元,租船的总费用共有_种可能.15函数的定义域为,其图象如图所示函数是定义域为的奇函数,满足,且当时,给出下列三个结论: ;函数在内有且仅有个零点;不等式的解集为其中,正确结论的序号是_16角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,四棱锥中,底面,点在线段上,且.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的正弦值.18(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)19(12分)若关于的方程的两根都大于2,求实数的取值范围20(12分)的内角的对边分别为,已知.(1)求的大小;(2)若,求面积的最大值.21(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的最大值为,且,求的最小值.22(10分)已知函数当时,求函数的极值;若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1D【解题分析】按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【题目详解】,.故选:D【题目点拨】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.2C【解题分析】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【题目详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,故,即.故选:.【题目点拨】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.3C【解题分析】由题意可知,代入函数表达式即可得解.【题目详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【题目点拨】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.4B【解题分析】求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.【题目详解】由,所以,故选:B.【题目点拨】该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.5B【解题分析】利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【题目详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,所以,所以的值域为.故选:B【题目点拨】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.6A【解题分析】根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题目详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y1=0,l2:x+y2=0满足l1l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y1=0,和2x2=0,不满足条件当m0时,则l1l2,由得m23m+2=0得m=1或m=2,由得m2,则m=1,即“m=1”是“l1l2”的充要条件,故答案为:A【题目点拨】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.7D【解题分析】根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用,求出点,因为点在双曲线上,及,代入整理及得,又已知,即可求出离心率【题目详解】由题意可知,代入得:,代入双曲线方程整理得:,又因为,即可得到,故选:D【题目点拨】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于,的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题8D【解题分析】用去换中的n,得,相加即可找到数列的周期,再利用计算.【题目详解】由已知,所以,+,得,从而,数列是以6为周期的周期数列,且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故选:D.【题目点拨】本题考查周期数列的应用,在求时,先算出一个周期的和即,再将表示成即可,本题是一道中档题.9D【解题分析】设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【题目详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【题目点拨】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.10D【解题分析】先将化为,根据函数图像的平移原则,即可得出结果.【题目详解】因为,所以只需将的图象向右平移个单位.【题目点拨】本题主要考查三角函数的平移,熟记函数平移原则即可,属于基础题型.11B【解题分析】结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【题目详解】由,以及,解得.故选:B【题目点拨】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.12D【解题分析】结合纯虚数的概念,可得,再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【题目详解】若复数为纯虚数,则,所以,若,不妨设,此时复数,不是纯虚数,所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选:D【题目点拨】本题考查充分条件和必要条件,考查了纯虚数的概念,理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。1332【解题分析】设EDa,根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CEED. AMx,根据三棱锥的体积公式,运用基本不等式,可以求出AM的长度,最后根据球的表面积公式进行求解即可.【题目详解】设EDa,则CDa.可得CE2+DE2CD2,CEED.当平面ABD平面BCD时,当四面体CEMN的体积才有可能取得最大值,设AMx.则四面体CEMN的体积(ax)axax(ax),当且仅当x时取等号.解得a2.此时三棱锥ABCD的外接球的表面积4a232.故答案为:32【题目点拨】本题考查了基本不等式的应用,考查了球的表面积公式,考查了数学运算能力和空间想象能力.14360 10 【解题分析】列出所有租船的情况,分别计算出租金,由此能求出结果.【题目详解】当租两人船时,租金为:元,当租四人船时,租金为:元,当租1条四人船6条两人船时,租金为:元,当租2条四人船4条两人船时,租金为:元,当租3条四人船2条两人船时,租金为:元,当租1条六人船5条2人船时,租金为:元,当租2条六人船2条2人船时,租金为:元,当租1条六人船1条四人船3条2人船时,租金为:元,当租1条六人船2条四人船1条2人船时,租金为:元,当租2条六人船1条四人船时,租金为:元,综上,租船最低总费用为360元,租船的总费用共有10种可能.故答案为:360,10.【题目点拨】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法,考查实际应用问题,属于基础题.15【解题分析】利用奇函数和,得出函数的周期为,由图可直接判断;利用赋值法求得,结合,进而可判断函数在内的零点个数,可判断的正误;采用换元法,结合图象即可得解,可判断的正误.综合可得出结论.【题目详解】因为函数是奇函数,所以,又,所以,即,所以,函数的周期为.对于,由于函数是上的奇函数,所以,故正确;对于,令,可得,得,所以,函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为,所以函数在内有个零点,分别是、,故错误;对于,令,则需
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